Wie komme ich jetzt auf das Ergebnis von 1 ⊖ 3 ⊙ (4 ⊘ 3 ⊖ 1) = 1 in M(10, 1, 0, 1)?

Question

Aufgabe:

Im Folgenden bezeichnen ⊕, ⊖, ⊙, ⊘ ”Maschinenoperationen“,d.h.wir nehmen an, dass für x,y∈M(b,n,m,M) und × ∈ {+,−,·,/} gilt:
x ⊗ y := rd(x × y)
(a) Achtung bei Umgang mit Maschinenzahlen: z.B. ist 1 − 3 · (4/3 − 1) = 0, aber
1 ⊖ 3 ⊙ (4 ⊘ 3 ⊖ 1) = 1 in M(10, 1, 0, 1).

Problem/Ansatz:

Das 1 − 3 · (4/3 − 1) = 0 ist, ist klar. Wie komme ich jetzt auf das Ergebnis von 1 ⊖ 3 ⊙ (4 ⊘ 3 ⊖ 1) = 1 in M(10, 1, 0, 1)?

Comments

Was wäre denn rd(4/3) on dem von Dir angegebenen M?

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rd(4/3) = 1,3 oder?

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Das hängt von M ab, erklär mal die Bedeutung, 10 ist die Basis, ok. Und der Rest? Auf welcher Zahlendarstellung beruht das ganze? Das muss man alles genau wissen. Ansonsten steht ja in der Aufgabe, was zu tun ist: nach jeder Rechenoperation runden. Zu klären ist auch, ob Punkt vor Strich gerechnet wird.

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10=Basis

1 = Nachkommastellen

0 = minimaler Exponent

1 = maximaler Exponent

Bzgl. der Punkt vor Strichrechnung wurde nichts festgelegt,

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Offen ist jetzt noch die Zahlendarstellung... damit man weiß wie insb. n gemeint ist.

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Dazu habe ich folgendes:

Die Menge der n-stelligen normalisierten GPZ zur Basis b mit Expo-
nent zwischen m und M, vereinigt mit der 0, wird notiert als

M(b, n, m, M)
:={±0,m_1...m_n ·b^e : m_1,...,m_n ∈{0,1,...,b−1}, m_1≠0, e∈Z, m ≤ e ≤ M}∪{0}.

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Ok, das ist geklärt. Dann rechne jetzt nochmal 4/3 und stelle das Ergebnis in der geforderten Form dar.

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4/3 = 1,3 *10^0 oder? also 1,3

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Es muss ja aber vor dem Komma eine Null sein...

Also 0,1 * 10^1?

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Genau, gut. Und jetzt einfach weiter durch den Term hangeln.

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Rechne ich jetzt

0,1*10^1 - 1? Das wäre ja 0

0 multipliziert mit 3 ergibt Null

Und 1 - 0 ist 1?

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Es muss ja aber vor dem Komma eine Null sein...

kommt darauf an, wie bei Euch 'Mantisse' definiert ist. Wenn eine 0 vorm Komma steht, dann gilt für die Mantisse \(m\)$$\frac{1}{b} \le m \lt 1 \\ \frac{1}{10} \le m \lt 1 \quad \quad b=10$$stimmt das?

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Es muss vor dem Komma eine Null sein und die erste Zahl nach dem Komma muss ungleich Null sein.

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Die Menge der n-stelligen normalisierten GPZ zur Basis b mit Exponent zwischen m und M, vereinigt mit der 0, wird notiert als$$\operatorname{M}(b, n, m, M) :=\{±,\space m_1...m_n\cdot b^e :\space m_1,...,m_n \in\{0,1,\dots,b−1\},\space m_1\ne 0,\space e\in\mathbb{Z},\space m ≤ e ≤ M\}\cup\{0\} $$

Dann wäre die Mantisse M(10, 1, 0, 1) nur eine(!) Stelle lang. Dann ist $$\operatorname{rd}\left(\frac{4}{3}\right)= 0,1 \cdot 10^{1} = 1$$

Das 1 − 3 · (4/3 − 1) = 0 ist, ist klar.

Mir ist das nicht klar. Da sollte dann doch \(\dots =1\) herauskommen - oder?

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Ja mit Maschinenoperationen kommt 1 raus, aber wenn es ganz normal berechnet mit Punkt- vor Strichrechnung, dann ergibt es doch 0.

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... aber wenn es ganz normal berechnet mit Punkt- vor Strichrechnung, dann ergibt es doch 0.

Ja natürlich - ich meinte auch in Maschinenoperationen. Aber es hat sich ja jetzt geklärt. :-)

Answer 1

Ja, genau so kommt man auf die 1. An diesem Beispiel soll man sehen wie gültige Stellen verloren gehen und zu falschen Ergebnissen führen.

In der Realität hat man natürlich nicht n=1, aber da passiert genau das gleiche, nur weiter hinten in der Mantisse.

Comments

Super, vielen DANK für die Hilfe!