Berechnen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten der Extrempunkte von f und erläutern Sie die Bedeutung

Question

Nach starken Regenfällen im Gebirge steigt der Wasserspiegel in einem Stausee an. Die in den ersten 24 Stunden nach den Regenfällen festgestellte Zuflussgeschwindigkeit kann näherungsweise durch die Funktion \( f \) mit \( f(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t \) beschrieben werden ( \( t \) in Stunden, \( f(t) \) in \( \frac{m^{2}}{h} \) ).
Berechnen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten der Extrempunkte von f und erläutern Sie die Bedeutung der Ergebnisse.

Comments

Die Maßeinheit für  f(t)  sollte wohl eher Kubikmeter (statt Quadratmeter) pro Stunde sein .....

Answer 1

\( f(t)=0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t \)

Nullstellen:

\(0,25 t^{3}-12 t^{2}+144 t =0\)

\( t^{3}-48 t^{2}+576 t =0\)

\( t*(t^2-48 t+576) =0\)

\( t_1=0 \) 

\(t^2-48 t+576=0\)

\(t^2-48 t=-576\)

\((t-24)^2=-576+24^2=0\)

\( t_2, _3=24\) doppelte Nullstelle (Extremwert)

Extremstellen:

\( f´(t)=0,75 t^{2}-24 t+144 \)

\(0,75 t^{2}-24 t+144=0 \)

\( t_1=8 \)     \( f(8)=0,25* 8^{3}-12 *8^{2}+144 *8=512 \frac{m^{3}}{h} \)

\( t_2=24 \)     \( f(24)=0,25* 24^{3}-12 *24^{2}+144 *24=0 \frac{m^{3}}{h} \)

Comments

Berechnen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten der Extrempunkte von f

Du hast nur die Stellen berechnet.

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Nullstellen:

\( t_1=0 \)          \( f(0)=0,25 *0^{3}-12 *0^{2}+144 *0=0 \)

\( t_2, _3=24\)        \( f(24)=0,25 *24^{3}-12 *24^{2}+144 *24=0 \)

Art der Extremwerte:

\( f´´(8)=1,5 *8-24=-12<0 \)  Maximum

\( f´´(24)=1,5 *24-24=12>0 \)  Minimum

Answer 2

f(t) = 0.25·t^3 - 12·t^2 + 144·t
f'(t) = 0.75·t^2 - 24·t + 144
f''(t) = 1.5·t - 24

Nullstellen

f(t) = 0.25·t^3 - 12·t^2 + 144·t = 0 --> t = 0 h ∨ t = 24 h

Extrempunkte

f'(t) = 0.75·t^2 - 24·t + 144 = 0 --> t = 8 h ∨ t = 24 h

f(8) = 512 m^3/h

Die Zuflussgeschwindigkeit ist nach 2 Stunden am größten sowie am Anfang und Ende des 24-stündigen Beobachtungszeitraums am kleinsten.

Answer 3

Nullstellen: kein Zufluss

Extremstellen: Zufluss ist maximal bzw. minimal

https://www.wolframalpha.com/input?i=0.25t%5E3-12t%5E2%2B144t