Die Funktion f mit
f(t) = 0.25·t^3 - 3·t^2 + 9·t mit (0 ≤ t ≤ 6), t in Monaten; f(t) in 10^6 m^3/Monat
beschreibt näherungsweise die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Fluss.
a) Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit für t = 0 und für t = 6.
f(0) = 0.25·0^3 - 3·0^2 + 9·0 = 0 m^3/Monat
f(6) = 0.25·6^3 - 3·6^2 + 9·6 = 0 m^3/Monat
b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und erklären Sie die Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang:
f(t) = 0.25·t^3 - 3·t^2 + 9·t = 0.25·t·(t^2 - 12·t + 36) = 0.25·t·(t - 6)^2
Einfache Nullstelle bei t = 0 und doppelte Nullstelle bei t = 6.
c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und erklären Sle die Bedeutung der Koordinaten im Sachzusammenhang.
f'(t) = 0.75·t^2 - 6·t + 9 = 0.75·(t^2 - 8·t + 12) = 0.75·(t - 2)·(t - 6) = 0
In 2. Ableitung einsetzen spare ich mir, weil ich das Vorzeichenwechselkriterium anwende.
f(2) = 8 m^3/Monat → HP(2 | 8)
f(6) = 0 m^3/Monat (Kennt man schon aus Aufgabe a)) → TP(6 | 0)
Die höchste Durchflussgeschwindigkeit hat man nach 2 Monaten. Die niedrigsten Fließgeschwindigkeiten hat man bei t = 0 und t = 6, wo der Fluss nicht fließt.
