Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit für t=0 und für t=6 mit Geo gebra

Question

Die Funktion $f$ mit $f(t)=0,25 t^{3}-3 t^{2}+9 t\left(0 \leq t \leq 6 ; t\right.$ in Monaten; $f(t)$ in $\left.10^{6} \frac{\mathrm{m}^{3}}{\text { Monat }}\right)$ beschreibt näherungsweise die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Fluss.
a) Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit für $t=0$ und für $t=6$.
b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und erklären Sie die Bedeutung der Nullstellen ir Sachzusammenhang:
c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung die Hoch-und Tiefpunkte des Graphen von f und erklären Sle die Bedeutung der Koordinaten im Sachzusammenhang.

Mit Geo Gebra

Answer 1

Die Funktion f mit
f(t) = 0.25·t³ - 3·t² + 9·t mit (0 ≤ t ≤ 6), t in Monaten; f(t) in 10⁶ m³/Monat
beschreibt näherungsweise die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Fluss.

a) Berechnen Sie die Durchflussgeschwindigkeit für t = 0 und für t = 6.

f(0) = 0.25·0³ - 3·0² + 9·0 = 0 m³/Monat
f(6) = 0.25·6³ - 3·6² + 9·6 =  0 m³/Monat

b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und erklären Sie die Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang:

f(t) = 0.25·t³ - 3·t² + 9·t = 0.25·t·(t² - 12·t + 36) = 0.25·t·(t - 6)²

Einfache Nullstelle bei t = 0 und doppelte Nullstelle bei t = 6.

c) Berechnen Sie mithilfe der ersten und zweiten Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und erklären Sle die Bedeutung der Koordinaten im Sachzusammenhang.

f'(t) = 0.75·t² - 6·t + 9 = 0.75·(t² - 8·t + 12) = 0.75·(t - 2)·(t - 6) = 0

In 2. Ableitung einsetzen spare ich mir, weil ich das Vorzeichenwechselkriterium anwende.

f(2) = 8 m³/Monat → HP(2 | 8)

f(6) = 0 m³/Monat (Kennt man schon aus Aufgabe a)) → TP(6 | 0)

Die höchste Durchflussgeschwindigkeit hat man nach 2 Monaten. Die niedrigsten Fließgeschwindigkeiten hat man bei t = 0 und t = 6, wo der Fluss nicht fließt.