Mehrdimensionale Extremstelle berechnen

Question

Text erkannt:

\( \begin{aligned} f(x, y) & =\frac{(x+y)^{4}}{8}-x y=\frac{1}{8} \cdot(x-y-y)^{4}-x-y \\ f x(x, y) & =\frac{1}{2} \cdot(x+y)^{3}-y \\ f x+y, y & =\frac{3}{2} \cdot(x+y)^{2} \\ f y(x, y) & =\frac{1}{2}(x+y)^{3}-x \\ f y y(x, y) & =\frac{3}{2}(x-y)^{2}-y \\ \frac{1}{2} \cdot(x+y)^{3}-y & =0 \quad \mid: \frac{1}{2}:(x+y)^{3} \\ \frac{1}{2} \cdot(x+y)^{3}-x & =0 \quad \mid: \frac{1}{2}:(x+y)^{3} \\ -y & =0 \\ -x & =0 \end{aligned} \)
mögliche Extremstelle bei (0/0) stimmt meine Lösung so?

Viele Grüße

Comments

Nachdem die richtigen kritischen Punkte gefunden wurden, könnte man auch noch die Natur des Extremums diskutieren, wenn es denn Teil der Aufgabe ist.

Answer 1

Was meinst Du zu Deinem Ergebnis im Vergleich zum Graph?

Comments

Scheint nicht zu stimmen. Muss ich erst (x+y)^3 auflösen?

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Muss ich erst (x+y)3 auflösen?

ziehe die beiden Ableitungen von einander ab. Aus$$\frac{1}{2}(x+y)^{3}-y=0\\ \frac{1}{2}(x+y)^{3}-x=0$$folgt dann \(x=y\). Einsetzen in eine der beiden gibt $$x,y\in\left\{0,\pm\frac{1}{2}\right\}$$

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Na ja,

Du sollest nicht durch 0 dividieren!

Der Gradient lautet doch

{(1 / 2 * (x + y)^(3)) - y, (1 / 2 * (x + y)^(3)) - x}

bilde mal die Diverenz zwischen beiden?

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Da kommt doch dann für 1/2(x+y)^3-1/2(x+y)^3 0 raus oder?

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+ (1 / 2 * (x + y)^3 - y) = 0

- (1 / 2 * (x + y)^3 - x) = 0

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= ?

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Tut mir leid, aber weiß nicht wie ich die Multiplikation voneinander abziehen soll, das muss doch 0 ergeben

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=  x - y = 0

Lass es mich anders sagen:

+ (1 / 2 * (x + y)^3 - y) = 0   ===> 1 / 2 * (x + y)^3 =  y

das eingesetzt in

(1 / 2 * (x + y)^3 - x) = 0      ===>  y - x = 0

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okay vielen Dank. also ist x=y, wie mache ich dann weiter?

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so wie immer!

Das setzt Du in einer Gleichung des Gradienten ein!

(1 / 2 * (x + y)^3 - y) = 0  ===> 1 / 2 * (y + y)^3 - y = 0  ===> y * (4y^2 - 1) = 0....