Extremstelle e-Funktion mit Sinus

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe die Ableitung berechnet:

f´(x)= -e^x*sin(x) + e^x*cos(x)

aber wenn ich es null setze, weiß ich nicht, wie ich x berechnen soll:

Comments

f´(x) ≠ -e^x*sin(x) + e^x*cos(x)

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Ouh stimmt, die Ableitung lautet:

e^x*sin(x)+e^x*cos(x) = 0

Answer 1

Ausklammern, Satz vom Nullprodukt, Dividieren durch cos, arctan anwenden.

Comments

also 0 = e^x(-sin(x)+cos(x))

e^x kann nicht 0 sein,

-sin(x)+cos(x) = 0

wie kann ich danach durch cos dividieren?

bzw. was passiert dadurch?

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Probier's doch aus. Ist ungefährlich, es kann nichts passieren.

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Ja, das geänderte Vorzeichen ändert aber nichts am Vorgehen.

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sin(x)+cos(x)=0

wenn ich jetzt durch cos teile

steht sin(x)/cos(x) = 1

also tan(x)=1

dann arctan..

danke!

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Nein. Wie rechnet man \(\frac{a+b}c\)?

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a/c + b/c

so?

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Ja, genau so.

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also

sin(x)/cos(x) + cos(x)/cos(x) = 0

also sin(x)/cos(x) + 1 = 0

sin(x)/cos(x) = -1

also tan(x) = -1 ?

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Ja genau. Kannst Du daraus nun x bestimmen? Es gibt unendlich viele Lösungen, aber es geht ja nur um den ersten HP im ersten Quadranten.

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Ah okay danke.

Ich habe das dann berechnet mit

arctan(-1) + k*pi

wir hatten nie arctan im Unterricht.

Die Aufgabe sollte anscheinend mit der Intervallhalbierung gerechnet werden,

allerdings weiß ich nicht wie diese geht.

Danke fürs erklären der Methode mit tan

:)

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Ja. Die Frage ist halt, für welche \(x\) ist \(\tan x=-1\)? Ohne \(\arctan\) zu erwähnen, kommt man darauf, dass das für \(x=-\frac\pi2\) der Fall ist (Gegenkathete/Ankathete = 1 heißt gleichschenkliges Dreieck, also \(45^\circ\), dann noch das minus davor, und für Bogenmaß umwandeln in \(-\frac\pi2\)).

Answer 2

Aloha :)

Dir ist ein kleiner Vorzeichenfehler passiert:$$f(x)=\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{e^x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}+\underbrace{e^x}_{=u}\cdot\underbrace{\cos x}_{=v'}=e^x(\sin x+\cos x)$$

Gesucht sind die kritischen Punkte von \(f'(x)\) im ersten Quadranten. Da \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) kann nur die Klammer zu Null werden:$$0\stackrel!=\sin(x)+\cos(x)=\sqrt2\left(\sin(x)\cdot\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\cdot\cos(x)\right)$$$$\phantom0=\sqrt2\left(\sin(x)\cdot\cos\left(\frac\pi4\right)+\sin\left(\frac\pi4\right)\cdot\cos(x)\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)$$

Die Nullstellen der Sinusfunktion sind alle ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\):$$x+\frac\pi4=\mathbb Z\cdot\pi\quad\implies\quad x=\mathbb Z\cdot\pi-\frac\pi4\quad\implies\quad x=\frac{\pi}{4}\left(4\,\mathbb Z-1\right)$$

Die erste Extremstelle im ersten Quadranten liegt daher bei \(x_1=\frac{3\pi}{4}\).

~plot~ e^x*sin(x) ; {3pi/4|e^(3pi/4)*sin(3pi/4)} ; [[-4|4|-2|8]] ~plot~

Die Prüfung der Extremstelle durch Einsetzen von \(x_1=\frac{3\pi}{4}\) in die zweite Ableitung habe ich mir gespart. Falls du möchtest, kannst du diesen Nachweis noch erbringen.

Answer 3

Eine Alternative:

\( f(x)=e^{x}sin(x) \)

\( f'(x)=e^{x}sin(x)+e^{x}cos(x) \)

\( e^{x}sin(x) +e^{x}cos(x) = 0\) 

\( e^{x}sin(x)  = -e^{x}cos(x) |^{2}\)

\( e^{2x}sin^{2}(x)  = e^{2x}cos^{2}(x) \)       Weiter mit      \(cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x) \) :

\( e^{2x}sin^{2}(x)  = e^{2x}(1-sin^{2}(x) )\) 

\( e^{2x}sin^{2}(x)  - e^{2x}(1-sin^{2}(x) )=0\)

\( e^{2x}(sin^{2}(x)  - 1+sin^{2}(x) )=0\)       Weiter mit Satz vom Nullprodukt :

\( e^{2x}≠0\) 

\(sin^{2}(x)  - 1+sin^{2}(x) =0\) 

\(sin^{2}(x) =\frac{1}{2}  |±\sqrt{~~}\)

1.) \(sin(x) =\frac{1}{2} \sqrt{2}\)

\(x=2kπ + \frac{3}{4}π \)

Mit \(k=0\):

\(x= \frac{3}{4}π \)     \(f(\frac{3}{4}π)=e^{\frac{3}{4}π}sin(\frac{3}{4}π)≈7,46\)

2.) \(sin(x) =-\frac{1}{2} \sqrt{2}\)   wird nicht mehr benötigt.