Differentialgleichung lösen

Question

Aufgabe:

Überprüfe das AWP auf eindeutige Lösbarkeit:

y'(t)= t² + y(t)³ mit y(0)=0

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, dass dies eine bernoli Dgl ist und substituiere: z(t)= y(t)^-2

aber dann erhalte ich z'= -2t² z^3/2 -2 und wieder keine lineare DGL.

Wie komme ich hier weiter?

Ich würde mich über eine Antwort freuen!

Comments

Von "lösen" steht da nichts. Du sollst eindeutige Lösbarkeit nachweisen. Dazu gibt es vielleicht Sätze in der Vorlesung, schlag mal nach.

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Achso, okay dann benutze ich den eindeutigkeitssatz:

Setze f(t,y)=t²+y³ dann muss ich überprüfen, ob f lokal lipschitz ist:

|f(t,y)-f(t,x)|= |y³-x³|≤|x-y| für x,y∈[0,1]

Kann man das so machen?

Answer 1

Im Prinzip ja. Aber die Abschätzung braucht schon eine Begründung. Und auch der Anfangswert bedarf einer Betrachtung bzw. Erwähnung (darauf bezieht sich ja das "lokal").

Comments

Okay, Dankeschön!

Würde die Frage der Aufgabe anders gestellt sein und ich müsste y(t) bestimmen, wie würde ich dann vorgehen müssen? Meine Idee habe ich ja bereits ganz oben beschrieben

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Das ist jedenfalls keine Bernoulli-Dgl, daher hilft diese Substitution nicht. Das ist eine Abel'sche Dgl, dazu kann ich aber spontan nichts sagen, außer dass die Standardlösungsansätze nicht greifen. Man kann eine Fourierreihe ansetzen, aber auch das wird aufwendig.

Es kann sein, dass diese Dgl ganz bewusst für die Aufgabe gewählt wurde, um eine Beantwortung der Frage durch Angabe einer Lösung (praktisch) unmöglich zu machen. Daher immer genau auf die Aufgabenstellung achten.

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Okay, ich danke dir! Hab nämlich alle bekannte Ansätze versucht.

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Finde ich gut, dass Du viele Ansätze probiert hast. Ist eine gute Übung (auch wenn es zu keiner Lösung führt).