Differentialgleichung mit Störfunktion lösen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 13.2 Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
\( y^{\prime}-4 y=14 x+2, \quad y(0)=1, \)
indem Sie für die partikuläre Lösung einen Ansatz von der Form der Störfunktion machen.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

1. homogene DGL-Gleichung lösen y' -4y= 0

dy/dx -4y =0  -->via Trennung der Variablen

dy/dx= 4y

dy/y= 4dx

ln|y| = 4x+c ->e hoch

y= e^(4x) · ± e^C , ±e^C=C1

yh=C₁ e^(4x)

2.Ansatz partikuläre Lösung

yp= ax+b

yp'= a

3. yp und yp' in die DGL einsetzen:

a -4(ax+b) =14x+2

a -4ax -4b= 14x+2

4.Koeffizientenvergleich:

x:  -4a =14 ---->a=\( \frac{-7}{2} \)

1:  a-4b= 2 ---->b=\( \frac{-11}{8} \)

yp= ax+b

5. y=yh+yp

y=C₁ e^(4x)  -(7/2) x -11/8

6. y(0)=1 in die Lösung einsetzen:

1= C₁ -11/8 ->C₁=19/8

y= \( \frac{19}{8} \) \( e^{4x} \) - \( \frac{7x}{2} \) -\( \frac{11}{8} \)