Ganzrationale Funktion mit Parameter

Question

Aufgabe:

\( f_t(x)=x^{3}-3 t^{3} x \)

1. Kurvendiskussion (Kurzform)

2. Für welches t geht die Kurve durch (2/5)?

3. Für welches t ist die 2. Winkelhalbierende die Tangente im Ursprung?

Problem/Ansatz:

Answer 1

ft(x) = x^3- 3t^3 x = x(x^2-3t^3)

D = R

lim(x->+-oo) = -+ oo

Nullstellen:

x((x^2-3t^3) = 0

x1=0

x^2= 3t^3

x= +-√(3t^3) = t*√3t)

Schnittpunkt mit y-Achse:

f(0) = 0 -> S(0/0)

Extrema:

ft '(x) =0

3x^2-3t^3= 0

x^2 = t^3

x= +-t*√t

Wendepunkt:

ft ''(x) =0

6x = 0

x= 0

2. ft(2) = 5

8- 6t^3 = 5

t^3 = 1/2

t= (1/2)^(1/3)

3.

Winkelhalbierende: y = -x

m= -1 (Steigung der Winkelhalbierenden)

ft'(0) = -1

3*0^2-3t^3 = -1

3t^3 = 1

t^3 = 1/3

t= (1/3)^(1/3)

Answer 2

2. Punkt in Funktionsgleichung einsetzen und nach t auflösen.

3. f '(0)=-1 setzen und nach t auflösen.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Doch wieso muss man in der ersten Ableitung die -1 einsetzen?

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Die zweite Winkelhalbierende hat die Steigung -1.