e-Funktionsschar mit Parameter: ft(x)= (x-t)*e^{-5x}

Question

Hallo Mathematiker, folgende Art von Funktion liegt vor, Exponentialfunktion mit Parameter.

f_t(x)= (x-t)*e^{-5x}

Ich habe die erste und zweite Ableitung,ein Nullstelle und einen! Extrempunkt berechnet.

f '_t(x)= e^{-5x}(1-5*(x-t))

f ''_t(x)= -5e^{-5x}(1-5*(x-t))

Nullstelle: x=t

Extrempunkt: 1/5+t

Sind die Werte korrekt?

Wie berechne ich bei e-Funktionen mit Parameter die Notwendige und Hinreichende Bedingung sowie die Wendestellen.

Bestimme den Parameter t, so dass er durch den Punkt (x/y) verläuft.?

Comments

Sorry,

habe übersehen, dass die Definitionsmenge gegeben ist. D = ]0 ; ∞[

Answer 1

Für die 2.Ableitung hätte ich einen Alternativ-Vorschlag:

$$ f''_t(x) = (25 (x-t)-10)\,\cdot \, e^{-5 x} $$

oder auch

$$ f''_t(x) =5 \cdot \frac { 5 (x-t)-2}{ e^{5 x} }$$

Es gibt nur eine Nullstelle: x=t ist korrekt - die Extremstelle auch
Wendestelle ist bei f''=0 wie üblich.

Alles wie sonst auch nur eben den Parameter mitschleppen und aufpassen, was der so verursacht an Definitionslücken, Vorzeichenwechseln etc.

Je nachdem wie der in welcher Funktion eingebaut ist, kann die Eigenschaft der Funktion ganz erheblich beeinflusst werden durch bestimmte Werte bzw. Bereiche des Parameters.