Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = (x + a)*e^-x.

Question

e) Zeigen Sie, dass Fa(x) = -(x+a+1)*e^-x eine Stammfunktion von fa ist. 

--> Ich verstehe nicht ganz, woher die +1 in der Klammer kommt, ansonsten hätte ich genauso aufgeleitet.

Answer 1

Um zu zeigen das F(x) eine Stammfunktion ist brauchen wir nur F(x) ableiten.

F(x) = - (x + a + 1)·e^{-x}

F'(x) = e^{-x}·(x + a)

Beachte hier beim Ableiten die Produkt und die Kettenregel ! Da F'(x) = f(x) ist haben wir gezeigt, dass F(x) eine Stammfunktion ist.

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Danke ! Brauchte den Rechenweg, um das zu verstehen..

Answer 2

leite doch mal \(F_a(x)=-(x+a+1)e^{-x}\) ab.

Dann siehst du das es eine Stammfunktion von \(f_a(x)=(x+a)e^{-x}\) ist.

$$(F_a(x))'=-(x+a+1)'e^{-x}-(x+a+1)(e^{-x})'=-(1)e^{-x}-(x+a+1)(-e^{-x})=(x+a)e^{-x}=f_a(x)$$

Zur Ableitung kam die Produktregel zur Anwendung: \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)

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Super! Vielen Dank für den Rechenweg !!

Answer 3

Mit a>0 stimmt es doch → - (x+a+1) *e^-x !

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Und mit \(a \leq 0\) nicht ?