Funktionenschar fa(x)=x*e^{ax} ; a<0 untersuchen

Question

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=x*e^ax ; a<0

1) größtmöglichen Definitionsbereich bestimmen

2) Nullstellen bestimmen

3) auf Symmetrie untersuchen

4) auf asymptotisches Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs untersuchen

5) Ortskurven der Extrem- und Wendepunkte bestimmen

Komme bei der Aufgabe leider überhaupt nicht weiter.

Wäre sehr dankbar über einen Lösungsansatz.

Answer 1

Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=x*e^ax

f ( x ) = x * e^{ax}
Nur noch
5) Ortskurven der Extrem- und Wendepunkte bestimmen

f ´( x ) = 1 * e^{ax} + x * e^{ax} * a
f ´( x ) = e^{ax} * ( 1 + ax )
Extrempunkt
1 + ax = 0
ax = -1
x = -1/a
f ( -1/a ) = (-1/a) * e^{a*-1/a} = -1/a * e^{-1}
f ( -1/a ) = - 1 / ( a * e )
E ( -1/a  | -1 / ( a * e ) )

Ortskurve Extrempunkte
y = -1 / ( a * e )
x = -1 / a
a = -1 / x
y = -1 / ( a * e )
ort = - 1 / [ ( - 1 / x ) * e ]
ort = x / e oder 1/e * x  ( = Gerade )

f ´( x ) = e^{ax} * ( 1 + ax )
f ´´( x ) = e^{ax} * a * ( 1 + ax ) + e^{ax} * a
f ´´ ( x ) = a * e^{ax} * ( 1 + ax + 1 )
f ´´ ( x ) = a * e^{ax} * ( 2 + ax )

Wendepunkt
a * e^{ax} * ( 2 + ax ) = 0
2 + ax = 0
ax = -2
x = -2/a

f ( -2/a ) = (-2/a) * e^{a*-2/a} = -2/a * e^{-2}
f ( -2/a ) = - 2 / ( a * e^2 )
W( -2/a  | -2 / ( a * e^2 ) )

Ortskurve Wendepunkte
y = -2 / ( a * e^2 )
x = -2 / a
a = -2 / x
y = -2 / ( a * e^2 )
ort = - 2 / [ ( - 2 / x ) * e^2 ]
ort = x / e^2 oder 1/e^2 * x  ( = Gerade )

Answer 2

Defbereich kannst du auch nicht ?
Du musst doch nur überlegen, welche Zahlen man für x einsetzen kann: Alle
also Def = IR

2) f(x)= 0 setzen. Da Terme mit e^x nie Null werden, bleibt nur x=0 also einzige
Nullstelle bei x=0

3) bilde mal f(-x) und vergleiche mit f(x)
weder gleich noch = - f(x), also keine
einfache Symmetrie.

4) Grenzwerte für x gegen + und gegen - unendlich.

5) Berechne mal die Punkte und frag dann noch mal nach