Aufgabe:
Ermitteln Sie im Intervall \( (-2,0) \) eine geschlossene Darstellung für die Funktion \( f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(n+\frac{1}{n}\right)(x+1)^{n} \)
Ich habe als Ergebnis Folgendes herausbekommen:
Zuerst hab ich die Summe ausmultipliziert \( f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{n}\right)(x+1)^{n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n(x+1)^{n}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x+1)^{n} \)
Jetzt hab ich die beiden Summen als getrennte Funktionen definiert \( g^{\prime}(x)=(x+1) \sum \limits_{n=1}^{\infty} n(x+1)^{n-1} \) und \( H(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x+1)^{n} \)
\( g^{\prime}(x) \) hab ich nun mit partieller Integration integriert und \( H(x) \) abgeleitet
\( g(x)=\int(x+1) \sum \limits_{n=1}^{\infty} n(x+1)^{n-1} d x \)
$$ u=x+1 \quad u^{\prime}=1 $$
\( v^{\prime}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n(x+1)^{n-1} \quad v=\sum \limits_{n=1}^{\infty}(x+1)^{n} \)
Da die Funktion jedoch nur im offenen Intervall \( (-2,0) \) definiert ist, wissen wir ja, dass der Betrag \( |x+1|<1 \) ist und v wäre dann ja nichts anderes als die unendliche geometrische Reihe. Somit kann man \( v \) auch so schreiben
\( v=\frac{1}{1-(x+1)}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x} \)
Mit den Regeln der partiellen Integration kann man dann folgendermaßen integrieren \( \int(x+1) \sum \limits_{n=1}^{\infty} n(x+1)^{n-1} d x=-(x+1) \frac{1}{x}-\int-\frac{1}{x} d x=\ln (x)-\frac{1}{x}-1+c=g(x) \)
Nun zu \( H(x) \)
\( \left(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x+1)^{n}\right)^{(1)}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}(x+1)^{n-1}=\frac{1}{(x+1)} \sum \limits_{n=1}^{\infty}(x+1)^{n}=\frac{-1}{x(x+1)}=h(x) \)
Zuletzt muss man wieder auf die Ausgangsfunktionen zurück.
\( g^{\prime}(x)=\left(\ln (x)-\frac{1}{x}-1+c\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}} \)
\( H(x)=\int \frac{-1}{x(x+1)} d x=\int \frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{x} d x=\ln (x+1)-\ln (x)+c \)
Somit komm ich zu der geschlossenen Darstellung:
\( f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(n+\frac{1}{n}\right)(x+1)^{n}=g^{\prime}(x)+H(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\ln (x+1)-\ln (x)+c \)
\( f(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)+\frac{x+1}{x^{2}}+c \)
Ich bin mir nicht ganz sicher ob die Argumentation mit der geometrischen Reihe stimmig ist.
