Aufgabe:
Problem 1 Lineare Abbildung
Gegeben sei die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2} \) mit \( f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right):=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)+x_{3}\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \).
(a) Entscheiden Sie (mit Nachweis), ob \( f \) linear ist.
(b) Ist \( f \) injekt iv oder surjektiv?
Problem 2 Darstellungsmatrix
Gegeben seien die linearen Abbildungen \( g, h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
\( g(\mathbf{x}):=\mathbf{x} \times\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text { und } h(\mathbf{x}):=\left\langle\left\langle\mathbf{x},\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text { für alle } \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3}\right. \)
und die Standardbasis \( \mathcal{B}=\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right) \) von \( \mathbb{R}^{3} \). Bestimmen Sie \( g_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}, h_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}} \) und \( (h \circ g)_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}} \).
Problem 3 Darstellungsmatrix
(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( f_{\mathcal{C}_{1} \leftarrow \mathcal{B}_{1}} \) der linearen Abbildung \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathbf{x}):=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot \mathbf{x} \) bzgl. der Basen
\( \mathcal{B}_{1}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \text { und } \mathcal{C}_{1}=\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( h_{\mathcal{C}_{3} \leftarrow \mathcal{B}_{3}} \) der linearen Abbildung \( h: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, h(\mathbf{p}):=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{p}^{\prime}(1) & 0 \\ 0 & -\mathbf{p}(0)\end{array}\right) \) bzgl. \( \operatorname{der} \) Basen
\( \mathcal{B}_{3}=\left(\mathbf{m}_{0}+\mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{2}\right) \text { und } \mathcal{C}_{3}=\left(\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right) \text {. } \)
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand hierbei helfen?
