Aloha :)
Das Integral für das Rotationsvolumen hast du richtig formulert:$$V=\pi\int\limits_{-1}^3f^2(x)\,dx\quad;\quad f(x)=2x^2+4x-3$$
Da wir die Trapezregel mit Schrittweite \(h=1\) zur näherungsweisen Berechnung des Integrals heranziehen sollen, würde ich das Quadrat der Funktion gar nicht groß bestimmen, sondern direkt die Trapezregel anwenden:
$$V\approx\pi\cdot\frac{b-a}{\pink2\cdot n}\cdot\left[\pink1\cdot f^2(-1)+\pink2\cdot f^2(0)+\pink2\cdot f^2(1)+\pink2\cdot f^2(2)+\pink1\cdot f^2(3)\right]$$$$V\approx\pi\cdot\frac{3-(-1)}{\pink2\cdot 4}\cdot\left[\pink1\cdot25+\pink2\cdot9+\pink2\cdot 9+\pink2\cdot 169+\pink1\cdot729\right]=1771,86$$
Bei der Trapezregel wird die Kurve zwischen 2 benachbarten Punkten durch Geraden angenähert, sodass Trapeze addiert werden. Im nächsten Verbesserungsschritt gehen der nächste und der übernächste Kurvenpunkt mit ein, indem durch alle 3 Punkte eine Parabel gelegt wird. Dafür brauchen wir eine gerade Anzahl \(n\) von Intervallen (was hier der Fall ist) und werden auf die Simpson-Regel geführt:$$V\approx\pi\cdot\frac{b-a}{\pink3\cdot n}\cdot\left[\pink1\cdot f^2(-1)+\pink4\cdot f^2(0)+\pink2\cdot f^2(1)+\pink4\cdot f^2(2)+\pink1\cdot f^2(3)\right]$$$$V\approx\pi\cdot\frac{3-(-1)}{\pink3\cdot4}\cdot\left[\pink1\cdot 25+\pink4\cdot9+\pink2\cdot9+\pink4\cdot169+\pink1\cdot729\right]=1554,04$$
