Volumen Rotatioskörper mit der Trapezformel

Question

Aufgabe:

Die Funktion y=2x²+4x-3 rotiert um die X-Achse. Ermitteln sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers im Bereich -1 ≤ x ≤ 3 mithilfe der Trapezregel (Schrittweite h=1,0) und führen sie einen Verbesserungsschritt durch

Lösung exakt= 1547,3 VE

Lösung nach einem Verbesserungsschritt= 1554.04 VE

Problem/Ansatz:

Mein Integral habe ich so aufgestellt: π  ∫4x⁴+16x³+4x²-24x+9 dx (ergibt sich aus der Formel für Rotatioskörper)

Jetzt habe ich noch die werte -1 bis 3 mit einer Schrittweite von 1 in die Funktion für x eingesetzt und erhalte für y:

25 , 9, 9, 169, 729

mit den Werten in der Trapezformel weiche ich deutlich ab und komme auf 1771,858. Zudem weiß ich nicht wie ich den Verbesserungsschritt durchführe.

Answer 1

Ist dir die Form des Rotationskörpers klar?

Rotation negativer und positiver Flächeninhalte getrennt berechnen.

Comments

Dann bestimme ich also als erstes die Nullstellen? Dann würde es aber mit meiner Schrittweite von 1 nicht mehr passen.

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Hier ist keine Aufteilung nötig.

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Rotation negativer und positiver Flächeninhalte getrennt berechnen.

das ist unnötig, da doch das Quadrat von \(y\) integriert werden muss. Und dies ist immer positiv!$$V= \pi \int\limits_{-1}^{3}\underbrace{(y(x))^2}_{\ge 0}\,\text{d}x$$

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Könnte mir jemand eine komplette Rechnung zeigen?

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Könnte mir jemand eine komplette Rechnung zeigen?

Das Ergebnis 1771 für h=1 ist korrekt - also wird Deine Rchnung bereits korrekt sein. Der Verbesserungsschritt besteht darin, das Intervall h zu verkleinern. Für \(h=0,5\) komme ich auf \(V\approx 1604\) .. also auch noch weit entfernt von der Vorgabe aus der Aufgabenstellung.

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Werner hat recht. Das Quadrieren macht meinen Vorschlag überflüssig.

Die Rechnung kannst du im exakten Falle offensichtlich selbst. Für die Trapezregel musst du vermutlich Trapeze rotieren lassen. Der Rotationskörper eines Trapezes ist ein Kegelstumpf. In der ersten Annäherung haben alle Kegelstümpfe (40 Stück) die Höhe 0,1. Welche Höhe sie in der zweiten Annäherung haben, wird der Aufgabensteller euch gesagt haben. Auch wie man viele Kegelstümpfe leicht addiert, wird verraten worden sein.

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In dieser Zeichnung sehe ich nichts vom Graph von y = 2x²+4x-3

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Hier ein paar Beispiele für \(h\) und \(V\):$$\begin{array}{c}h& V\\\hline 0.25& 1561.5\\ 0.2& 1556.4\\ 0.1& 1549.6\\ 0.08& 1548.8\end{array}$$Dein Wert mit \(V \approx 1554.04 \text{VE}\) ist nicht dabei

Answer 2

Nach meiner Rechnung stimmt dein Ergebnis, warum sollte es auch nicht? Für schlechte Werte gibt's ja Verbesserungen. Was damit gemeint ist, sollte in deinen Unterlagen stehen. Vielleicht mit h/2 rechnen, vielleicht dies oder jenes. Da können wir nur spekulieren.

Comments

Okay wenn ich soweit richtig gerechnet habe dann fehlt nur noch der Teil mit der Verbesserung. Dort habe ich leider kein Beispiel oder sonstiges zu, die angegebene Formel in meinen Unterlagen verstehe ich Leider nicht.

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Dann lade mal die unverständliche Formel hoch, als Foto, dann schauen wir mal.

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Text erkannt:

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Na, ist doch alles klar. Ih hast du berechnet, mit h=1. I2h ist dann das Ergebnis mit doppeltem h, also h=2. Berechne das. Setze dann gemäß der Formel zusammen um Iverb zu erhalten. Das wird dann passen.

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die angegebene Formel in meinen Unterlagen verstehe ich Leider nicht.

Das ist eine einfache lineare Gewichtung. Stell die Gleichung um ... $$I_{T_{\text{verb.}}} = I_{T_{h}} + \frac{1}{3}\left(I_{T_{h}} - I_{T_{2h}}\right) = \frac{4}{3} I_{T_{h}} - \frac{1}{3}I_{T_{2h}}$$heißt: es wird 1/3 in den verbesserten Wert \(I_{T_{h}}\) hinein extrapoliert.

Ich denke, dass hier \(2h=1,0\) gemeint ist und daher ist \(h=0,5\) für die zweite Berechnung. Wenn man das einsetzt, dann kommt man auf:$$I_{T_{\text{verb.}}} = \frac{4}{3} \cdot 1604 - \frac{1}{3} \cdot 1772 = 1548$$... das kommt hin!

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Ok, es gibt mehrere Wege die Formel zu verwenden: zum einen mit h=1 und 2 (meine Erklärung) oder mit h=1 und 0.5 (werner). Beides gibt eine Verbesserung gegenüber der 1772, letzteres natürlich wg kleinerem h den besseren Wert.

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Ok, es gibt mehrere Wege die Formel zu verwenden ..

Ja natürlich. Wobei der Aufwand mit \(h=1.0\) und \(2h=2.0\) natürlich geringer ist, wenn man das 'zu Fuß' rechnen muss. Also nochmal der Vollständigkeit halber:$$I_{T_{\text{verb.}}} = \frac{4}{3}\cdot 1771,9 - \frac{1}{3}\cdot 2425,3\approx 1554,1$$das ist wohl doch eher gemeint!

Hier noch ein Tool mit dem Du das auch so ausrechnen kannst

Über den schwarzen Punkt auf gelbem Strich kann man mit der Maus den Wert für \(h\) einstellen. Der Polygonzug (lila gestrichelt) wird nur für \(h=1\) angezeigt.

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Die 'unverständliche' Formel ...$$I_{T_{\text{verb.}}} = I_{T_{h}} + \frac{1}{3}\left(I_{T_{h}} - I_{T_{2h}}\right) = \frac{4}{3} I_{T_{h}} - \frac{1}{3}I_{T_{2h}}$$... ist gar nicht so unverständlich, wenn man das mal mit 3 Stützstellen \((x_0,\,f_1=f(x_0))\), \((x_0+h,\,f_2=f(x_0+h))\) und \((x_0+2h,\,f_2=f(x_0+2h))\), also für ein Intervall von \(2h\) durchrechnet:$$\begin{aligned}I_{T_{h}} &= \frac{h}{2}\left(f_1+f_2\right)+\frac{h}{2}\left(f_2+f_3\right)=\frac{h}{2}\left(f_1+2f_2+f_3\right)\\ I_{T_{2h}} &=\frac{2h}{2}\left(f_1+f_3\right) \\I_{T_{\text{verb.}}}&=\frac{1}{3}\left(4I_{T_{h}} - I_{T_{2h}}\right)\\ &= \frac{1}{3}\left(2h\left(f_1+2f_2+f_3\right) - h\left(f_1+f_3\right)\right) \\&= \frac{h}{3}\left(2f_1+4f_2+2f_3-f_1-f_3\right)\\&= \frac{2h}{6}\left(f_1+4f_2+f_3\right)\end{aligned}$$und welche Überraschung - schon erhält man die Simpsonregel.

Answer 3

Aloha :)

Das Integral für das Rotationsvolumen hast du richtig formulert:$$V=\pi\int\limits_{-1}^3f^2(x)\,dx\quad;\quad f(x)=2x^2+4x-3$$

Da wir die Trapezregel mit Schrittweite \(h=1\) zur näherungsweisen Berechnung des Integrals heranziehen sollen, würde ich das Quadrat der Funktion gar nicht groß bestimmen, sondern direkt die Trapezregel anwenden:

$$V\approx\pi\cdot\frac{b-a}{\pink2\cdot n}\cdot\left[\pink1\cdot f^2(-1)+\pink2\cdot f^2(0)+\pink2\cdot f^2(1)+\pink2\cdot f^2(2)+\pink1\cdot f^2(3)\right]$$$$V\approx\pi\cdot\frac{3-(-1)}{\pink2\cdot 4}\cdot\left[\pink1\cdot25+\pink2\cdot9+\pink2\cdot 9+\pink2\cdot 169+\pink1\cdot729\right]=1771,86$$

Bei der Trapezregel wird die Kurve zwischen 2 benachbarten Punkten durch Geraden angenähert, sodass Trapeze addiert werden. Im nächsten Verbesserungsschritt gehen der nächste und der übernächste Kurvenpunkt mit ein, indem durch alle 3 Punkte eine Parabel gelegt wird. Dafür brauchen wir eine gerade Anzahl \(n\) von Intervallen (was hier der Fall ist) und werden auf die Simpson-Regel geführt:$$V\approx\pi\cdot\frac{b-a}{\pink3\cdot n}\cdot\left[\pink1\cdot f^2(-1)+\pink4\cdot f^2(0)+\pink2\cdot f^2(1)+\pink4\cdot f^2(2)+\pink1\cdot f^2(3)\right]$$$$V\approx\pi\cdot\frac{3-(-1)}{\pink3\cdot4}\cdot\left[\pink1\cdot 25+\pink4\cdot9+\pink2\cdot9+\pink4\cdot169+\pink1\cdot729\right]=1554,04$$