Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bei Funktionenschar

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Schar der definierten Funktion f_a(x) = 1/3x^3 + ax^2 + a^2*x .

*    Berechne die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von a.

*    Ermitteln Sie (falls vorhanden) Extrempunkte und Wendepunkte der Graphen der Funktionenschar in Abhängigkeit von a. Prüfen Sie, ob es sich bei den Wendepunkten um Sattelpunkte handelt.

Problem/Ansatz:

Comments

Was ist eigentlich Deine Frage zu dieser Aufgabe?

Answer 1

a) fa(x) =0

1/3x*(x^2+3ax+3a^2) =0

x1= 0

x^2+3ax+3a^2=0

pq- Formel:

p= 6a, q= 3a^2

x2/3 = ...

b) f '(x) = 0

x^2+2ax+a^2 = 0

(x+a)^2 = 0

x= -a

c) WP:

f ''(x) = 0

2x+2a= 0

x= -a

-> x= -a = Sattelpunkt

Comments

Vielen Dank für die Lösung. Könnten Sie mir bitte erklären wieso 1/3 nicht in der Klammer ist und woher die 6 bei der pq-Formel kommt?

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ich habe es mit ausgeklammert, weil es dann schöner zu rechnen ist.

Das macht man oft so.

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Ich verstehe, aber woher kommt jetzt die 6?

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Da ist mir ein Fehler unterlaufen. Es muss 3  lauten.

Ich verbessere.

Answer 2

\(\displaystyle \frac{d}{dx} \; f_a(x) = (a+x)^2\)

\(\displaystyle \frac{d^2}{dx^2} \; f_a(x) = 2(a+x) \)

\(\displaystyle \frac{d^3}{dx^3} \; f_a(x) = 2 \)

Nullstellen: Funktion gleich null setzen und nach x auflösen.

Extremstellen: erste Ableitung gleich null setzen und nach x auflösen.

Extrempunkte: Extremstelle in Funktion einsetzen für die y-Koordinate.

Wendestellen: zweite Ableitung gleich null setzen (die beiden anderen Kriterien für eine hinreichende Bedingung sind erfüllt, nämlich dreimal differenzierbar und dritte Ableitung ungleich null) und nach x auflösen.

Wendepunkte: Wendestelle in Funktion einsetzen für die y-Koordinate.

Sattelpunkte: wenn die ersten beiden Ableitungen gleich 0 und die 3. Ableitung ungleich 0, dann Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagerechter Tangente).