Lösung einer Gleichung mit einem Logarithmus im Exponenten

Question

Aufgabe:

2^(9^log(zur Basis 3 von 2)) = 16

\(  2^{\large 9^{log_3 (2)}} = 16 \)

Problem/Ansatz:

brauche eine Wegleitung zur Lösung dieser Gleichung. Die allg. gültige Formel: b^log zur basis b von x= x läßt sich hier ja nicht anwenden.

Answer 1

Aloha :)

Ein ungemein nützliches Rechengesetz für Logarithmen ist leider kaum bekannt:$$\pink{a^{\log(b)}=b^{\log(a)}}$$Das ist sofort klar, wenn man den Logarithmus beider Seiten nimmt und dann die Exponenten vor die Logarithmen zieht. Die Basis der Logarithmus-Funktion ist dabei egal, es muss nur bei allen beteiligten Logarithmen dieselbe Basis sein.

Damit löst sich dein Problem in Luft auf:$$\large 2^{\pink{9^{\log_3(2)}}}=2^{\pink{2^{\log_3(9)}}}=2^{2^2}=2^4=16$$

Answer 2

Weil 2^4 = 16 kann man die Gleichung aus der Aufgabe schreiben als

9^(log_3 (2)) = 4

Das stimmt, und darum ist die Gleichung richtig.

Eine Lösung braucht man nicht zu suchen, denn es gibt in der Gleichung keine Unbekannte.

Comments

brauche eine Wegleitung zur Lösung dieser Gleichung.

Damit meint er wohl die Auflösung den Ungetüms auf der linken Seite.

Answer 3

Du meinst, dass du das beweisen sollst??

16 = 2^4

Exponentenvergleich:

9^(log_3(2)) = 4

Es gilt:

log_3(2) = log_9(2^2)