Eine Polynomfuktion vierten Grades kann keine 2 Extremstellen haben, wieso?

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfuktion vierten Grades kann keine 2 Extremstellen haben, wieso?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, das man die Extremstellen bestimmen kann, indem man die Stellen findet, wo die 1te Ableitung 0 ist. Bei einer Polynomfunktion 4ten Grades, ist die 1te Ableitung eine Polynomfunktion dritten Grades und die kann 1, 2 oder 3 reelle Nullstellen haben.

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Die Behauptung ist falsch. Eine Polynomfunktion 4-ten Grades kann sogar 3 Extremstellen haben.

~plot~ 1/3*x^4-5/3*x^2+4/3 ; [[-3|3|-1|4]] ~plot~

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Drei Extremstellen kann eine Fkt 4ten Grades haben, das ist klar, aber genau 2 geht nicht.

Answer 1

Bei einer Polynomfunktion 4ten Grades, ist die 1te Ableitung eine Polynomfunktion dritten Grades und die kann 1, 2 oder 3 reelle Nullstellen haben.

Nehmen wir an, die erste Ableitung hätte genau zwei verschiedene Nullstellen. Dann müssen das Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sein wenn diese Extremstellen der Ausgangsfunktion sein sollen. Eine Polynomfunktion ungeraden Grades kann aber keine gerade Anzahl von Vorzeichenwechseln aufweisen.

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Danke! Jetzt ist mir alles klar :-) !

Answer 2

Es gibt die seltenen Momente, wo ich nur den Kopf schütteln kann über die Ignoranz der Antwortgeber und Kommentierer.

"Ignoranz" ist freundlich ausgedrückt. Oder sind die betreffenden Personen doch so - wie sage ich es freundlich- auf die eigene Antwort fokussiert, dass sie ein Problem des bisherigen Threads wirklich nicht erkennen????

Auf die Aufgabe

Eine Polynomfuktion vierten Grades kann keine 2 Extremstellen haben,

hat Tschaka völlig zutreffend kommentiert:

Die Behauptung ist falsch. Eine Polynomfunktion 4-ten Grades kann sogar 3 Extremstellen haben.

Alle Nachfolger haben sich darin überstürzt, ihre eigene Grütze zur Frage in den Topf zu werfen.

KEINER hat dabei erkennbar überlegt, ob der Fragesteller den Einwand von Tschaka verstanden hat.

Ich bin mir also, wie gesagt, nicht sicher, ob in diesem Personenkreis der Einwand von Tschaka einfach ignoriert oder sogar einfach nicht verstanden wurde.

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@abacus:

Die Behauptung ist falsch. Eine Polynomfunktion 4-ten Grades kann sogar 3 Extremstellen haben.

Diesen Umstand hatte der Frager doch schon zusammen mit einer Begründung angeführt und er ist darüberhinaus überhaupt nicht zielführend, weil er nämlich von der eigentlich intendierten Bedeutung im (unterstellten) Aufgabentext "...kann nicht genau zwei Extremstellen haben..." wegführt.

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Genau das ist es doch!

Keiner hat sich die Mühe gemacht zu erklären, dass mit "zwei"  eigentlich "genau zwei" gemeint ist. Zumindest von dir und von Unknown hätte ich eine Klarstellung dieser Art erwartet.

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Der von Tschaka angeführter Umstand war auch mein erster Gedanke beim Lesen des Titels, also würde ich nun nicht denken, dass ich ihn nicht verstanden hätte.

Ich habe ihn nicht unmittelbar aufgegriffen oder mich auf ihn bezogen (wenn man also so will: "ignoriert"), weil der Frager ja mit seiner Bemerkung

Bei einer Polynomfunktion 4ten Grades, ist die 1te Ableitung eine Polynomfunktion dritten Grades und die kann 1, 2 oder 3 reelle Nullstellen haben.

angedeutet hat, dass er das zumindest ahnte oder sicher wusste. Möglicherweise überraschend, und deswegen vielleicht interessant, fand ich die Folgerung daraus:

Die Ausgangsfunktion besitzt entweder genau eine oder genau drei Extremstellen, niemals jedoch genau zwei.

Zu dieser Folgerung habe ich eine Begründung formuliert.

Mit einer angemessenen Würdigung aller bisherigen Beiträge zu einem Thema bin ich meistens überfordert und strebe sie daher für gewöhnlich auch nicht an. Ich lese aber viele Beiträge und denke darüber nach, auch wenn ich sie nicht in eigenen Beiträgen aufgreife.

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Es gibt die seltenen Momente, wo ich nur den Kopf schütteln kann über die Ignoranz der Antwortgeber und Kommentierer.

seltene Momente? Das halte ich für maßlos untertrieben.

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Den Einwand von Tschaka kann ich gar nicht ignoriert haben, sondern kam erst deutlich nach meiner Antwort *kopf schüttel*!

Ansonsten stimme ich Gast az0815 zu. Es gibt tatsächlich Leute, die sich die Frage durchlesen und Annahmen treffen um was es bei der Frage geht. Das wurde beantwortet. Jedesmal einen vielseitigen Aufsatz zu schreiben, was alles gemein sein könnte und was die perfekte Formulierung wäre -> dafür bin ich nicht hier! Und schon an der Eigeninitiative des FS ist klar erkennbar/vermutbar, dass dieser keine generellen Probleme mit Polynomen hat. Also mal Ball flach halten!

Answer 3

Hi,

Du kannst es erstmal anschaulich machen. Zeichne Dir doch meine eine Funktion mit zwei Extremstellen. Wie sieht diese aus? Fällt Dir etwas auf?

Dann können wir uns das noch anhand der ersten Ableitung anschauen.

Grüße

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Ich frage mich, wie man sich dem nähert OHNE Skizze.

Es soll offensichtlich so abstrakt wie möglich gezeigt werden wie so oft in der

Mathematik - mit purer, knallharter Logik, der viele nicht so ohne Weiteres folgen

können.

Wie setzt man hier an und wovon geht man am besten aus?

Was ist das Basiswissen dazu?

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Zum Beispiel: -0.5 x³+2 x²-x+1 Diese Funktion hat zwei Extremstellen.

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Ja genau. Zwei Extremstellen würden laut Deinem Schaubild also was für einen Kurvenverlauf annehmen lassen? Den, der für x ins jeweilig andere Unendlich streben lässt.

Mit einer Funktion vierten Grades erwarten wir aber ein Streben in das gleiche Unendlich. Für eine Funktion vierten Grades bedeutet das dann, dass wir das allenfalls mit einem Sattelpunkt hinbekommen...dieser ist allerdings kein Extremum.

Klingt das anschaulich?

Das können wir nun auch rechnerisch zeigen. Schau Dir die erste Ableitung an. Du meintest selbst, dass es 1, 2 oder 3 Nullstellen gibt. Wir sind wohl an 2 Nullstellen interessiert. Was bedeutet das für eine der Nullstellen? Kannst Du das auch graphisch interpretieren? Sonst brauchen wir noch die 2te Ableitung :).

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Danke für deine Antwort! Ich habe von einer Funktion dritten Grades mit 2 Nullstellen (f(x) die Stammfunktion (g(x) bestimmt und mittels GeoGebra zeichnen lassen. Man sieht, dass bei x = -1, der ersten Nullstelle von f(x), g(x) eine Wendestelle hat und kein Extremum. Wohingegen bei x = 3, der zweiten Nullstelle von f(x), g(x) ein Minimum hat.

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Genau. Das ist zwar kein Beweis, dient aber der Veranschaulichung. Theoretisch ist es möglich, dass wir Fälle übersehen hatten.

Den Rest siehst Du bei az0815.

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Klar, ist nur ein Beispiel.