Innerhalb Ableitungsrechnung die Bruchterme subtrahieren

Question

Aufgabe:

Ableiten: \( \frac{\sqrt{x^2-5}}{\ln(2x)} \)
Problem/Ansatz:
1. Ansatz ist Quotientenregel \( f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} \) , \( f'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)
2. Ableiten von \( f(x) \)
\( f'(x)= \frac{\frac{x\ln(2x)}{\sqrt{ x^2-5 }}-\frac{\sqrt{ x^2-5 }}{x}}{\ln^2(2x)} \)
\(= \frac{x\ln(2x)}{\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln^2(2x)}-\frac{\sqrt{ x^2-5 }}{x\cdot \ln^2(2x)} | \text{kürzen!} \ln(2x) \)
\(= \frac{x}{\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x)}-\frac{\sqrt{ x^2-5 }}{x\cdot \ln^2(2x)} | \text{Bruchterme subtrahieren!} \)

3. Mein Schritt Bruchterme subtrahieren!
\( = \frac{x}{\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x)}-\frac{\sqrt{ x^2-5 }}{x\cdot \ln^2(2x)}  \text{Bruchterme subtrahieren!} \)
\(= \frac{x(x\cdot \ln^2(2x))}{\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x)(x\cdot \ln^2(2x))}-\frac{\sqrt{ x^2-5 }(\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x))}{x\cdot \ln^2(2x)(\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x))} | \text{kürzen!} \)
\(= \frac{x(x\cdot \ln^2(2x))}{\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x)(x\cdot \ln^2(2x))}-\frac{\sqrt{ x^2-5 }(\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x))}{x\cdot \ln^2(2x)(\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x))} | \text{gemeinsamer Nenner} \)
\(= \frac{x(x\cdot \ln^2(2x))-\cancel{\sqrt{ x^2-5 }}(\cancel{\sqrt{ x^2-5 }}\cdot \ln(2x))}{\sqrt{ x^2-5 }\cdot \ln(2x)(x\cdot \ln^2(2x))} | \text{Wurzeln heben sich gegenseitig auf, und ln gestrichen} \)
Zwar werden die Wurzeln gestrichen und \( \ln(2x) \) gekürzt werden, aber trotzdem komme ich nicht auf die richtige Lösung.

Ich bitte um eine genaue Erklärung zum Rechenschritt "Bruchterme kürzen" bis zum Ergebnis. Für Feedback bin ich auch offen. Vielen Dank im voraus. Grüße

korrekte Lösung ist gegeben: Ableitung von \( f(x) \) ist \( f'(x)=\frac{x^2\cdot\ln(2x)-x^2+5}{x\cdot\ln^2(2x)\cdot \sqrt{x^2-5}} \)

Comments

Schreib es wurzelfrei:

√(x^2-5) = (x^2-5)^(1/2) = u

u' = 1/2*(x^2-5)^(-1/2)*2x = x`*(x^2-5)^(-1/2)

v= ln(2x) -> v'=1/(2x)*2 = 1/x

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war auch mein erster Ansatz. Werde es auch ausprobieren. Vielen Dank für die Antwort. Grüße

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\phantom=\left(\frac{\overbrace{\sqrt{x^2-5}}^{=u}}{\underbrace{\ln(2x)}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\frac{2x}{2\sqrt{x^2-5}}}^{=u'}\cdot\overbrace{\ln(2x)}^{v}-\overbrace{\sqrt{x^2-5}}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{2}{2x}}^{=v'}}{\underbrace{\ln^2(2x)}_{=v^2}}$$$$=\frac{\pink{x\sqrt{x^2-5}}\cdot\left(\frac{\cancel2\,x}{\cancel2\sqrt{x^2-5}}\cdot\ln(2x)-\sqrt{x^2-5}\cdot\frac{\cancel2}{\cancel2\,x}\right)}{\pink{x\sqrt{x^2-5}}\cdot\ln^2(2x)}=\frac{x^2\ln(2x)-(x^2-5)}{x\sqrt{x^2-5}\cdot\ln^2(2x)}$$