Wieso führt dieser Beweis zu der entsprechenden Schlussfolgerung?

Question

Ich verstehe hier wirklich absolut gar nichts vom Beweis. Vielleicht könnte mir jemand Schritt für Schritt erklären was passiert, und vor allem was das für einen Sinn und Zweck hat. Ich markiere die Schritte mit Nummern, damit eine Erklärung einfacher ist.

(1) Behauptung: Für A ∈ GL_n (K) ist φ_A: Kⁿ → Kⁿ ist ein Automorphismus und es gilt dann: φ_A^-1 = φ_(A-1₎.

Beweis (Verknüpfungs Notation mit: ~):

(2) φ_A ~ φ_(A-1) = φ_(AA-1₎ = φ_En = id_Kn

(3) φ_(A-1₎ ~ φ_A = φ_(A-1_A) = φ_En = id_Kn

(4) => φ_A invertierbar und φ_A^-1 = φ_(A-1₎.

Also ich muss leider sagen, ich verstehe die Folgerung überhaupt nicht. Die Rechnung, und dass es die Einheitsmatrix ergibt leuchtet mir noch ein. Auch, dass φ_En = id_Kn gilt macht Sinn. Aber ich verstehe einfach nicht wieso das Ganze dann zu der entsprechenden Folgerung führt.

Comments

Du solltest uns schon verraten, wie \(\varphi_A\) definiert ist.

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Sorry!

A ∈ K^mxn

φ_A(x): Kⁿ → K^m, x → Ax ist Homomorphismus.

Answer 1

Für eine Abb. \(u\) gilt: Wenn \(u\circ v = v\circ u= Id\) ist, dann ist \(v=u^{-1}\) (Def. von Inverse, \(\circ\) ist die Verknüpfung).

Nun lies den Beweis mit \(u=\varphi_A\) und schau, ob Du \(v=u^{-1}\) daraus ermitteln kannst, das suchen wir ja.