Beweis Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 2.2 \) (3+3+3+3P) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. Für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt, dass \( x^{2}+x y+y^{2} \geq 0 \). Hinweis: Quadratergänzung.
2. Ist \( x^{3}=y^{3} \) für \( x, y \in \mathbb{R} \), so ist \( x=y . \) Benutzen Sie dafür die vorige Teilaufgabe. Sie dürfen den Begriff der kubischen Wurzel (oder Eigenschaften davon) nicht anwenden.
3. Es gibt keine ganzen Zahlen \( m, n \in \mathbb{Z} \) mit \( 8 m+26 n=1 \).
4. \( \log _{2} 3 \) ist nicht rational.

Problem:

Bin neu im Studium und verstehe es leider nicht

Kann mir jemand helfen

Comments

Zu 2. benutze die Tatsache, dass

\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) ist.

Answer 1

1.  x^2+xy+y^2≥0

(x+\( \frac{y}{2} \))^2≥\( \frac{y^2}{4} \)|\( \sqrt{} \)

1.)x+\( \frac{y}{2} \)≥\( \frac{y}{2} \)

x₁≥0

2.)x+\( \frac{y}{2} \)≥-\( \frac{y}{2} \)

x₂≥-y

Comments

Manche Fragesteller verhalten sich wie Leute, die sich zu einem Marathon-Lauf angemeldet haben und schon nach 100m ein Taxi rufen, das sie ins Ziel bringen soll.

Und manche Antwortgeber geben sich als Taxifahrer aus, obwohl sie keinen Führerschein haben.

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Vielen Dank für deine Hilfe :) @moliets

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@Gast hj2166:

Gebe bitte die korrekte Antwort.

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@Moliets: Der Imperativ Singular von geben heißt "gib".

Answer 2

Hier noch ein Taxi für die Strecke 1:

ich benutze nicht den (uneleganten) Hinweis ...

1. Fall: \(xy\geq 0\Rightarrow x^2+xy+y^2\geq 0\)

2. Fall: \(xy< 0\). Dann

\((x+y)^2\geq 0\gt xy\Rightarrow x^2+2xy+y^2\gt xy\Rightarrow x^2+xy+y^2>0\).

Comments

Addition der beiden (ohne Fallunterscheidung stets) nichtnegativen Quadrate
(x/2*√3)^2 und (x/2 + y)^2 liefert die gewünschte Aussage.

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Auch ein schönes Taxi ;-)

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@Gast hj2166: Hast du denn auch eine so schöne

Quadratsummenlösung, die ganz in \(\mathbb{Q}\)

stattfindet (oder in einem beliebigen angeordneten Körper) ?

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Habe selbst eine gefunden:

\(x^2+xy +y^2=1/2(x^2+y^2+(x+y)^2)\geq 0\)

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Danke euch :)