Beweis zu Analysis asymptomie

Question

Aufgabe:

Seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Wir bezeichnen \( f \) und \( g \) als asymptotisch gleich für \( x \rightarrow \infty \), falls
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \)
(a) Es sei
\( f(x)=(x+2)^{7} \cdot 2^{x}+2^{(x+1)^{2}}+\left(x^{5}+6 x^{2}+10\right) \cdot 2^{x^{2}} . \)

Finden Sie eine Funktion \( g \) der Form \( g(x)=a x^{b} 2^{c x^{2}+d x} \) mit geeigneten Konstanten \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \), sodass \( f(x) \) und \( g(x) \) asymptotisch gleich sind für \( x \rightarrow \infty \). Beweisen Sie für Thre Wahl von \( g \) die asymptotische Gleichheit von \( f \) und \( g \).

(b) Gilt \( f(x)=e^{x^{2}}-1-x^{2}-\frac{1}{2} x^{4}=o\left(x^{4}\right) \) für \( x \rightarrow 0 \) ? Beweisen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Für (a) gibt es hier schon eine Antwort.

Wo liegt bei (b) das Problem? Probier mal die Taylor-Entwicklung von \(e^t\) bis 4. Grad und ersetze \(t=x^2\).