Beweis im Thema Zahlentheorie

Question

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Danke im Voraus.

Text erkannt:

Seien \( A_{1}, A_{2} \) abelsche Gruppen.
1. Wir betrachten die Menge der Gruppenhomomorphismen von \( A_{1} \) nach \( A_{2} \)
\( \operatorname{Hom}\left(A_{1}, A_{2}\right):=\left\{f: A_{1} \rightarrow A_{2} \mid f \text { ist ein Gruppenhomomorphismus }\right\} \)
zusammen mit der Summe zweier Homomorphismen \( f_{1} \) und \( f_{2} \), welche als
\( \begin{aligned} f_{1}+f_{2}: A_{1} & \rightarrow A_{2} \\ a & \mapsto f_{1}(a)+f_{2}(a) \end{aligned} \)
definiert wird. Zeigen Sie, dass \( \left(\operatorname{Hom}\left(A_{1}, A_{2}\right),+\right. \) ) eine abelsche Gruppe definiert.
2. Sei \( A_{1}^{\prime} \) eine abelsche Gruppe, welche isomorph zu \( A_{1} \) ist. Zeigen Sie, dass die abelschen Gruppen \( \left(\operatorname{Hom}\left(A_{1}, A_{2}\right),+\right) \) und \( \left(\operatorname{Hom}\left(A_{1}^{\prime}, A_{2}\right),+\right) \) isomorph sind.
3. Wir betrachten nun die abelsche Gruppe \( A:=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}, \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \). Bestimmen Sie einen Gruppenisomorphismus \( A \cong \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \).

Answer 1

1. und 2.: Verifiziere einfach die Gruppenmaxiome, das ist eine Schönschreibarbeit.

3. Sei f:ℤ/ℤ/4→ℤ/2ℤ ein Homomorphismus, er wird durch das Bild des Ezeugenden 1 bestimmt: f(1) = a. Dann ist f(1+1) = a+a = 0. Es gibt also nur die zwei Möglichkeiten a = 0, dann ist f das neutrale Element von \( \operatorname{Hom}(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}, \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \), und a = 1. Es gibt nur eine Gruppe mit 2 Elementen.