Beweisen im Thema Zahlentheorie

Question

Aufgabe:

1. Sei

\( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Z} \)

ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{Q} \).

2. Bestimmen Sie für jedes \( n \in \mathbb{N} \) einen Gruppenhomorphismus

\( g_{n}: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} / \mathbb{Z}, \)

sodass es ein \( \bar{k} \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) mit \( g_{n}(\bar{k}) \neq 0 \) gibt. Gibt es solch einen Homomorphismus auch, wenn wir \( \mathbb{Q} / \mathbb{Z} \) mit \( \mathbb{Q} \) ersetzen?

Answer 1

Es ist bewiesen, wenn f(1)=0 gezeigt werden kann

Sei n∈ℕ. Dann ist a:=f(1)

=f(1/n+1/n+...+1_n)

Wegen Hom also

=f(1/n)+...+f(1/n)

=n*f(1/n)

Unf f(1/n)∈ℤ.

Also ist a für jedes n∈ℕ durch n teilbar. Somit a=0.

Answer 2

ℤ/nℤ wird durch 1 erzeugt, wir setzen g(1) = 1/n, dann ist g wegen g(n) ∈ ℤ, d.h g(0)=0 wohldefiniert.

Wenn wir den Wertevorrat ℚ haben wollen, müsste g(n) = 0 sein