Bestimme die Jacobi-Matrix Dz im Punkt (1,1,2) wenn folgende Funktion gegeben ist F(x,y,z)=x^2+y^3-z (mit Hilfe des …

Question

Aufgabe:

Bestimme die Jacobi-Matrix Dz im Punkt (1,1,2) wenn folgende Funktion gegeben ist F(x,y,z)=x^2+y^3-z (mit Hilfe des Impliziten Differenzierens)

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll. Aus welchen Komponenten bilde ich hier die Jacobi-Matrix?

Bin dankbar für alle Tipps!

Comments

Wenn z aus F(x,y,z)=0 bestimmt werden soll, so wäre z(x,y)=x^2×y^3. Was soll man da implizit differenzieren?

Answer 1

Aloha :)

Die Jacobi-Matrix \(Dz=\frac{\partial z}{\partial(x;y)}\) soll mittels impliziter Ableitung von$$F(x;y;z(x;y))=x^2+y^3-z(x;y)=\text{const}$$gefunden werden. Da \(F\) konstant ist, verschwindet die Ableitung:$$\small0=DF=\frac{\partial F}{\partial(x;y)}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial(x;y)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y}\end{pmatrix}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot Dz=\begin{pmatrix}2x & 3y^2\end{pmatrix}+(-1)\cdot Dz$$Das heißt für die gesuchte Jacobi-Matrix:$$Dz=\begin{pmatrix}2x & 3y^2\end{pmatrix}$$Speziell im Punkt \((1;1;2)\) ist daher: \(Dz=\begin{pmatrix}2 & 3\end{pmatrix}\)

Comments

Du hast mit \(x^3\) statt mit \(x^2\) gerechnet. Daher stimmt die 1. Komponente in \(Dz\) nicht.

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Danke dir für den Hinweis... Ich habe es korrigiert ;)