Hallo,
ich finde die Aufgabe interessant, daher hier noch mal eine ausführliche Erklärung, obwohl nudger ja bereits alles geschrieben hat. Das gegebene Gleichungssystem ist$$\begin{array}{r} x^{3}+y^{2}-z=0 \\ x^{2}-2 x y-z=2 \end{array}$$Das sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wenn Lösungen existieren, so kann man diese als Punkte im Raum auffassen. Und da wir hier bei 3 Unbekannte (minus) 2 Gleichungen genau einen Freiheitsgrad haben, ist dies wahrscheinlich eine Kurve im Raum.
Zum Vergleich: Wären die Gleichungen linear, so wäre es i.A. die Schnittmenge zweier Ebenen und damit eine Gerade.
Eine Lösung ist bekannt: \(P=(-1|\,2|\,3)\). Die Frage ist, ob die Variablen \(x\) und \(y\) als Funktion nach \(z\) auflösbar sind, also ob die Funktionen existieren:$$z \to x(z), \quad z\to y(z)$$Weiter ist nach den Ableitungen \(x'(3)\) und \(y'(3)\) in \(P\) gefragt und gemeint ist die Ableitung nach \(z\)!
Nun kann man jeden Ausdruck - z.B. \(x^3\) - nach \(z\) ableiten, wenn man davon ausgeht, dass \(x(z)\) existiert (Kettenregel)$$\frac{\partial x^3}{\partial z} = 3x^2\cdot x'$$Und genau das kann man auch für die impliziten Funktionen hier machen:$$\begin{array}{r} 3x^{2}x'+2yy'-1=0 \\ 2xx'-2(x'y + xy')-1=0 \end{array}$$Jetzt ein wenig sortieren und das ganze als Matrix-Vektor-Produkt sieht so aus:$$\begin{pmatrix} 3x^2 & 2y \\ 2x-2y & -2x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$Mit einem bekannte Paar \(x\), \(y\) lassen sich nun die Ableitungen berechnen. Einsetzen von \(x=-1\) und \(y=2\) aus \(P\) gibt:$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \implies \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}(z=3) = \frac{1}{30}\begin{pmatrix} -2\\9 \end{pmatrix}$$
Aber warum sollte ich die Gleichungen zu Beginn addieren dürfen ?
Durch 0 teilen sollte man nicht, ansonsten darf man ziemlich viel. Die Frage ist doch, was kommt dabei heraus, wenn man die Gleichungen subtrahiert und damit \(z\) eliminiert? Rein formal gibt das$$x^{3}+y^{2}-\left(x^{2}-2xy\right)=-2$$und das ist wiederum ein Kurve in der Ebene und die sieht so:
Was man hier sieht sind Paare von \(x\) und \(y\), die das Gleichungssystem für ein (noch unbekanntes) \(z\) erfüllen würden. Mit anderen Worten: der rote Graph oben ist eine Projektion der Raumkurve, die durch das Gleichungssystem gegeben ist, in die XY-Ebene.
Und \(x'\) ist die Änderung von \(x\), wenn sich \(z\) um den Wert 1 ändert, und \(y'\) ist die Änderung von \(y\), wenn sich \(z\) um 1 ändert. Also ist der Richtungsvektor der Kurve - ich nenne sie mal \(\gamma\)$$\gamma' = \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{pmatrix}, \quad \gamma'(z=3) = \begin{pmatrix} -1/15\\ 3/10\\ 1 \end{pmatrix}$$und die grüne Strecke oben im Bild ist die Projektion des Richtungsvektors in \(P\) auf die XY-Ebene.
Schön wär's natürlich, sich die Kurve \(\gamma\) auch in 3D ansehen zu können. Dazu habe ich für die ganzzahligen Z-Werte von \(-4\) bis \(4\) die Punkte im Raum und die dazu gehörigen Richtungsvektoren berechnet und hier dargestellt:
Der grüne Vektor ist \(\gamma'(z=3)\). Klick drauf, dann öffnet sich Geoknecht3D und man kann die Szene mit der Maus rotieren. Dann bekommt man einen guten räumlichen Eindruck.
Gruß Werner
