Es werde y implizit als differenzierbare Funktion von x definiert durch die Gleichung
3·y2 - 2·x·y = - 1
Bestimmen Sie die zweite Ableitung y'' im Punkt (x, y) = (2, 1).
3·y2 - 2·x·y = - 1 |links und rechts nach x ableiten
3*2y*y' -(2*y + 2x*y') = 0
6yy' -2y - 2xy'=0 |:2
3yy' - y - xy' = 0
y'(3y -x) = y
y' = y/(3y - x) |Quotientenregel
y'' = (y' *(3y-x) -y*(3*y' - 1)) /(3y - x)^2
= y'(3y-x-3y)/(3y-x)^2 - y/(3y-x)^2
= (-y'x)/(3y-x)^2 - y/(3y-x)^2 |y' einsetzen
= -yx/(3y-x)^3 - y/(3y-x)
Punkt (x, y) = (2, 1) einsetzen
=-2/1^3 - 1/1
= -3
1. Nachrechnen
2. Überlegen, wann du frühestens den Punkt einsetzen dürftest.