Geben Sie die Lösung von y' für die implizit gegebene Funktion an: x³y+xy³=2

Question

x³y+xy³=2

Es ist nach y' aufzulösen =)

bitte mit Zwischenschritt 

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Aus Duplikat:

Es soll die Lösung von y´ für die implizit gegebene Funktion angegeben werden.

x³y + xy³ = 2

ich bitte bei einen Lösungsweg um Erklärung der einzelnen Schritte, um es auf andere Beispiele übertragen zu können.

Ich bedanke mich vielmals im Voraus.

Falls mehrer Lösungswege möglich sind könnt ihr vielleicht Ratschläge geben welche besser ist.

Comments

Soll das am Schluss so aussehen wie eine der Ableitungen bei https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+y%2Bxy%5E3%3D2 ?

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Hi,
nee
y'= .........

in meiner Lösung steht was von [ u.v=u'*v+u*v]

aber als allgemeine Hilfestellung

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ist gar nicht so eine lange Aufgabe, soweit ich das mibekommen habe.

Vielen Dank

Answer 1

ok. ich versuche das mal. Annahme y ist eine Funktion von x. Da gar kein y' vorkommt, muss man irgendwann mal ableiten.

Ich leite die gegebene Gleichung links und rechts ab.

x³y+xy³=2

3x^2 * y +x^3*y'  + 1*y^3 + x*3y^2 * y' = 0

y' * (x^3 + 3xy^2) = - 3x^2 y - y^3

y' = - (3x^2 y + y^3)/(x^3 + 3xy^2) 

Das ist nun genau die unterste Formel im Link, den ich vorher angegeben hatte.

Comments

Oh ja stimmt, tut mir leid :)

aber besten Dank. Schönes Wochenende

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Im Zähler sollte wohl+y^3 stehen

meine Frage an dich @Lu mit welcher Formel hast du das gelöst? Falls du es aus dem Gedächnis her abgeleitet hast, weißt du welche Formel man für die Aufgabe verwenden würde?

gruß aus Hannover

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ja. Danke + y^3.

Ich habe die beiden Summanden nach der Produktregel abgeleitet: Das was Anonym andeuten wollte?  [ u.v=u'*v+u*v]   wäre dann (u*v)' = u'*v + u*v'

x³y+xy³=2

in x^3 * y ist u=x^3 und v=y.

Annahme es wird nach x abgeleitet so gilt u' = 3x^2 und v' = y'      (wie genau y von x abhängt kümmert mich mal nicht)

Daher (x^3 y)' = 3x^2 y + x^3 y'.

in x*y^3

ist u=x und v=y^3

u' = 1 und v' = 3y^2 * y'       |geschachtelte Funktion. Daher noch innere Ableitung.

etc. wie oben.

Das Ganze (wie oben versucht zu diskutieren) unter der Annahme, dass ihr nach x ableiten sollt und in der Ableitung immer noch x und y vorkommen dürfen.

Ich kann aber nicht beurteilen, ob das das Ziel der Aufgabenstellung war.

Der/die hier https://www.mathelounge.de/57875/implizites-ableiten-der-funktion-y-f-y-y-1-g-y-y verwendet die Formeln so wie ich das hier gemacht habe. Vergisst aber bei der 2. Ableitung die Produktregel. Vielleicht kannst du ja dort noch fertig rechnen und bekommst dann ein Feadback. Der/die dürfte inzwischen wissen, wie's geht.

Gruss nach Hannover!

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort ich zerbrech mir nur den Kopf über den Term y3 abgeglitten = 3y^2 ist verständlich aber ich kann das *y' dahinter nicht nachvollziehen bitte um Erklärung
danke @lu

gruß zurück

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Das wird wohl eine gängige Regel bei implizierten Ableitung zu sein mit dem *y' dahinter

noch wichtiger ist das ich im 2ten schritt die Vereinfachung :

y'* (x^3+3xy^2)= -3x^2y-y^3 ???

gruß aus Hannover

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den Term y3 abgeglitten = 3y² ist verständlich aber ich kann das *y' dahinter nicht nachvollziehen bitte um Erklärung

Da man nach x ableitet und y von x abhängt, muss man Terme mit y , wie  y^3 nach der Kettenregel ableiten und die innere Ableitung als Faktor anfügen.

d/dx (y^3 ) = 3y^2 * y'

Bitte betrachte auch die Rubrik 'ähnliche Fragen' die Fragen von heute früh. Die sind mathematisch richtig formuliert. Dort steht in der Fragestellung, ob eine Variable von irgendwas abhängt und in welchem Punkt, man welche Ableitung haben möchte.

Answer 2

\(f(x,y)=x^3y+xy^3-2\)

\(f_x(x,y)=3x^2y+y^3\)

\(f_y(x,y)=x^3+3xy^2\)

\(f'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}=-\frac{3x^2y+y^3}{x^3+3xy^2}\)

Comments

Was soll denn \(f'(x)\) bei einer Funktion \(f\) von zwei Veränderlichen sein?

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\(f'(x)\)hat die gleiche Bedeutung wie \(y'(x)\)

Siehe auch:

https://www.mathelounge.de/1079007/gegeben-ermittle-steigung-tangente-schnittpunkt-mediane#c1079012

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Kann gar nicht, weil \(f\neq y\).