Hallo liebe Mathematikerinnen und Mathematiker,
Ich soll zeigen, dass die Gleichungen $$ x^2 + y^2 = 2uv $$ und $$ x^3 + y^3 = v^3 - u^3 $$ in einer Umgebung von \((x_0,y_0) = (-1,1)\) implizit eine Funktion \(g(x,y) = (u(x,y),v(x,y))\) definieren mit \(g(-1,1) = (1,1)\). Zudem soll ich noch \(\nabla g(-1,1)\) berechnen.
Wie ich den Gradienten in dem gegebenen Punkt \((-1,1)\) dann am Ende bestimmen würde, weiß ich: $$ \nabla g(-1,1) = \begin{pmatrix} g_x(-1,1) \\ g_y(-1,1) \end{pmatrix} $$
Wie bestimme ich nun diese "implizit definierte Funktion" \(g(x,y)\)? Muss ich vielleicht die gegebenen Gleichungen irgendwie nach \(u\) bzw. \(v\) umformen? Im \(\mathbb{R}\) wäre das ja kein Problem, aber im \(\mathbb{R^2}\) habe ich keine Ahnung, wie das aussehen soll. Eine ausführliche Erklärung würde mir sehr weiterhelfen.
Danke
EDIT: Gemäss Kommentar das Wort Gleichungen eingesetzt.
