http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!204:Das_mehrdimensionale_Taylorpolynom
Da wird das ganz nett vorgemacht:
Alle partiellen Ableitung bis einschließlich 2. Ordnung bilden.
Das wäre bei dir
f ' x (x,y) = 0,5*cos(x/2 + y ) - sin ( x - y/2 )
also bei (0;0) ist es 0,5
f ' y (x,y) = cos(x/2 + y ) - 0,5 * sin (- x + y/2 )
also bei (0;0) ist es 1
und dann
f ' ' xx (x,y) = - 0,25 * sin( x/2 + y ) - cos( x - y/2 )
also bei (0;0) ist es - 1
f ' ' yy (x,y) = - sin( x/2 + y ) - 0,25 * cos( - x + y/2 )
also bei (0;0) ist es - 1/4
f ' ' xy (x,y) = 0,5 * ( - sin( x/2 + y ) + cos( - x + y/2 ) )
also bei (0;0) ist es 1 / 2
Jetzt alles einsetzen, da bekomme ich
T .... = 1 + 0,5 * x + 1*y + 0,5*( - 1 ) * x^2 + 0,5 *xy + 0,5 * ( -1 / 4 ) * y^2
und der 2. Teil geht wohl mit der Abschätzung des Restgliedes.