Taylorpolynom 4. Grades von f(x) = cos^2(x)

Question

kann mir jemand bei der Aufgabe im Titel helfen?

Danke schonmal

Answer 1

allgemein:

y = f(x₀) +f '(x₀)(x-x₀) +f '' (x₀)/ 2! (x-x₀)^2 +f '''(x₀)/3! *(x-x₀)^3

+ f ''''(x₀)/4!(x-x₀)^4

es ist 4 mal die Ableitung zu bilden und x₀ muß eingesetzt werden.

Rechnung nicht möglich, da x₀ nicht bekannt.

Comments

Rechnung nicht möglich, da x_(0) nicht bekannt.

Das geht, siehe unten!

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1:0 für dich!

Answer 2

nutze die bekannte Cosinusreihe:

$$cos^2(x)\approx(1-x^2/2+x^4/24)^2=1-x^2+x^4/3-x^6/24+x^8/576\approx1-x^2+x^4/3$$

Answer 3

Du hast ein Polynom vierten Grades (quartische Gleichung) mit der Form:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ Du willst nun die Funktion \(f(x)=cos^2(x)\) annähern, das geht doch! Bilde die Ableitungen von dem Polynom vierten Grades:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$$$f'''(x)=24ax+6b$$$$f''''(x)=24a$$ Nun bildest du alle Ableitungen von (f(x)=cos^2(x)\):$$f(x)=cos^2(x)$$$$f'(x)=-2cos(x)sin(x)$$$$f''(x)=2\left(\sin^2\left(x\right)-\cos^2\left(x\right)\right)$$$$f'''(x)=8\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)$$$$f''''(x)=-8\left(\sin^2\left(x\right)-\cos^2\left(x\right)\right)$$ Nun einfach immer eine Null in die Ableitungen von jeder Ableitung einsetzen und genießen:$$T_4^{(0)}=ax^4+bx^3+cx^2+dx+\underbrace{e=cos^2(0)=1}_{e=1}$$$$T_4^{(1)}=4ax^3+3bx^2+2cx+\underbrace{d=-2cos(x)sin(x)}_{d=0}$$$$T_4^{(2)}=12ax^2+6bx+\underbrace{2c=2\left(\sin^2\left(x\right)-\cos^2\left(x\right)\right)}_{c=-1}$$$$T_4^{(3)}=24ax+\underbrace{6b=8\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)}_{b=0}$$$$T_4^{(4)}=\underbrace{24a=-8\left(\sin^2\left(x\right)-\cos^2\left(x\right)\right)}_{a=\frac{1}{3}}$$ Nun einfach alle gegebenen Werte ins Polynom einsetzen:$$f(x)=\frac{1}{3}x^4+0x^3-1x^2+0x+1$$ Oder auch einfacher:$$f(x)=\frac{1}{3}x^4-x^2+1$$ Das sieht dann im Graph so aus (rot=Taylorpolynom):

Comments

Das ist dann eine Taylorentwicklung im "Entwicklungspunkt x₀ = 0"

Dieser ist aber - wie GL richtig bemerkt hat - in der Aufgabenstellung nicht angegeben.

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Hmm, ich dachte, dass man davon ausgeht, wenn er nicht gegeben ist.