Taylorpolynom 2.Grades & Extremstelle

Question

Gegeben sei eine Funktion f: ℝ --> ℝ mit den Eigenschaften:

f ' (x) = f(x) cos(x) + x -1

f(0) = 1

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2.Grades von f mit der Entwicklungsstelle x0=0

f '' (x)= f' (x) * cosx  - f(x) * sinx -1

T2(x)= 1 + cos(0)*x + cos(0)*cos(0)-sin(0)-1 / (2!)  *x^2

= 1+x

b) Hat f in x= 0 ein lokale extremstelle? wenn ja was für eine Extremstelle?

f ' (0) = 0

f(x) - cosx + x - 1 = 0

f(0) -cos(0) + 0 - 1 = 0

1-1-1= -1

f '' (-1) =(  f' (-1) * cos(-1) ) - (  f(-1) *sin(-1) ) -1

Dankeschön

Answer 1

Hi,

Es gilt doch \( f(0) = 1 \), \( f'(0) = 0 \) und \( f''(0) = 1 \) also lautet die Taylorreihe bis zum zweiten Glied

$$ T_2f(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 $$

Da \( f'(0) = 0 \) und \( f''(0) > 0 \) gilt, liegt ein lokales Minimum vor.

Answer 2

f ' (x) = f(x) cos(x) + x -1

f ' (0) = f(1) * 1 + 0  - 1

           =   1*1 + 0 - 1  =  0

also f ' (0) = 0

f '' (x)= f ' (x) * cosx  - f(x) * sinx   + 1

Das war (fast) richtig, also

f '' (0)= f' (0) * cos(0)  - f(0) * sin(0) -1

= f' (0) * 1  - 0   + 1

und für f ' (0) hattest du ja oben schon 0 raus

= 0 * 1  - 0   + 1  = 0

also f ' ' (0) = 1

Mit den Werten kannst du mit der Lösung von ullim

weitermachen.