Taylorpolynom 2. Grades der Funktion im Punkt P(0|0)? f(x,y):= sin((x+2y)/2) + cos((2x-y)/2)

Question

Taylor Polynom 2. Grades einer Funktion in einem gegebenen Punkt bestimmen

Es sei folgende Funktion \( f : \mathbb {R^2} \to \mathbb {R}\) gegeben: $$ f(x,y):= sin\frac{x+2y}{2} + cos\frac{2x-y}{2} $$

1. Wie berechne ich das Taylorpolynom 2. Grades \( T_2f((x,y),(0,0))\) dieser Funktion im Punkt \((0,0)\)?

2. Wie zeige ich, dass $$ \vert f(x,y)- T_1f((x,y),(0,0))\vert \leq \frac{5}{8}(x^2 + y^2) +\frac{xy}{2} $$ für alle \((x,y) \in \mathbb{R^2} \) mit \(x^2 + y^2 \leq 1\) und \(x,y \geq 0\)?

Besonders die Antwort auf die 2. Frage interessiert mich! Ausführlicher Lösungsweg für beide Fragen zum Selbststudium explizit erwünscht ;)

Answer 1

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!204:Das_mehrdimensionale_Taylorpolynom

Da wird das ganz nett vorgemacht:

Alle partiellen Ableitung bis einschließlich 2. Ordnung bilden.

Das wäre bei dir

f ' _x (x,y) = 0,5*cos(x/2 + y )  -   sin ( x - y/2 )

  also bei (0;0) ist es  0,5

f ' _y (x,y) = cos(x/2 + y )  -   0,5 * sin (- x + y/2 )

  also bei (0;0) ist es  1

und dann

f ' ' _xx (x,y) = - 0,25 * sin( x/2  + y ) -  cos(  x  -  y/2 )

  also bei (0;0) ist es   - 1 

f ' ' _yy (x,y) = - sin( x/2  + y ) -  0,25 * cos( - x  +  y/2 )

  also bei (0;0) ist es   - 1/4 

f ' ' _xy (x,y) = 0,5 *  (  -  sin( x/2  + y )   +   cos( - x  +   y/2 )  ) 

  also bei (0;0) ist es    1  / 2  

Jetzt alles einsetzen, da bekomme ich

T .... =  1   + 0,5 * x  +  1*y  + 0,5*( - 1 ) * x^2 + 0,5 *xy  + 0,5 * ( -1 / 4 ) * y^2

und der 2. Teil geht wohl mit der Abschätzung des Restgliedes.

Answer 2

es gilt sin(x)≈x und cos(x)≈1-x^2/2

wenn man nur Terme 2ten Grades beachtet.

Eingesetzt ergibt sich

f(x,y)≈x/2+y+1-(x-y/2)^2/2=x/2+y+1-x^2/2-y^2/8+xy/2