Zeigen sie, dass die Gleichung sich in einer Umgebung des Punktes (R, 0, r) ∈ℝ^3 eindeutig nach z auflösen lässt.

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Seien R>r>0 und die Gleichung

(sqrt(x^2 + y^2) - R)^2 + z^2 = r^2

Zeigen sie, dass die Gleichung sich in einer Umgebung des Punktes (R, 0, r) ∈ℝ^3 eindeutig nach z auflösen lässt. Bestimmen Sie ferner für g(x,y)=z die partielle Ableitungen am Punkt (R,0).

Ich verstehe nicht was das R zu bedeuten hat und von wo das kommt. Im Skript finde ich leider auch keine hilfe dafür. Ist das einfach eine Funktion mit 5 Variablen?

Comments

Das beschreibt bestimmt irgendwas Geometrisches. R und r sind der kleine und große Radius von irgendwas. Das sind aber einfach nur zwei feste Parameter. Was hindert dich daran, den Satz über implizite Funktionen anzuwenden?

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irgendwas Geometrisches   ist ein Torus

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Fang doch einfach mal an. Setze

\(F_{r,R} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \, (x,y,z)\mapsto (\sqrt{x^2+y^2}-R)^2+z^2-r^2\).

irgendwas Geometrisches ist ein Torus

Danke.

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Danke für eure Antworten.

Ich habe versucht den Satz jetzt anzuwenden bin mir aber mit meinem Ergebnis nicht sicher.

Ich habe die Funktion F_r,R:ℝ³→ℝ,(x,y,z)↦(\( \sqrt{x²+y²} \)−R)²+z²−r².

Wenn ich den Punkte (R,0,r) einsetze kommt (R-R)²+r²-r² raus also = 0

Hier muss ich doch dann die Invertierbarkeit für die Ableitung nach z prüfen. Diese ist 2z und mit dem Punkt eingesetzt 2r, da r>0 ist die Voraussetzung für den Satz der Impliziten Funktion erfüllt, also lässt sich die Funktion im Punkt (R,0,r) eindeutig nach z auflösen.

Jetzt habe ich die Ableitungen von F nach x gemacht, aber habe dort 2x-\( \frac{2xR}{\sqrt{x^2+y^2}} \) und nach y = 2y-\( \frac{2yR}{\sqrt{x^2+y^2}} \).

Wenn ich für diese Ableitungen den Punkt einsetze bekomme ich 0 Raus. Dann habe ich als partielle Ableitungen für g(x,y)=z: -\( \frac{1}{2r} \)*(0,0)

Ich weiß nicht ob meine Ableitungen falsch sind oder ob ich den Satz falsch angewandt habe...

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Ja, das sieht soweit ganz gut aus. Bei der Ableitung ist mir noch nicht ganz klar, was du gemacht hast. Du müsstet ja eigentlich nur die Kettenregel anwenden.

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Ich habe aus dem Satz im Skript den folgenden Teil verwendet:

J_g(x₀)=-[\( \frac{∂F}{∂y} \) (z₀)]^-1 \( \frac{∂F}{∂x} \)(x₀)

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Könnte das mit der Ableitung gleich 0 stimmen? Der Körper ist ein "Donut" und liegt in der x,y Ebene. Dann müsste der Punkt (R,0,r) auf dem obersten Punkt vom Körper liegen was gleichzeitig auch ein Extremum ist.

Ist mein Gedankengang so richtig?

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Kann es sein, dass ich die Gleichung \( \sqrt{x^2 + y^2} \) - R)² + z² = r² einfach nur nach z umstellen muss um g zu haben?

Dann habe ich die Funktion g(x,y)= \( -\sqrt{ - r^2\sqrt{x^2 + y^2} \ - R)^2 } \)

Die Ableitung nach x ist dann \(-\dfrac{x\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{-\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2-r^2}}\)

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einfach nur nach z umstellen muss um g zu haben?

Ich meine, dass das geht.

Der Satz aus deinem Skript ist ebenfalls richtig.