Bestimmen Sie die Ursprungsgerade f(x)=m \cdot x, die möglichst nahe an P_{1}, P_{2}, P_{3} und P_{4} liegt, d.h.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte
$$ P_{1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right), P_{2}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \end{array}\right), P_{3}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 7 \end{array}\right) \text { und } P_{4}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie die Ursprungsgerade \( f(x)=m \cdot x, \) die möglichst nahe an \( P_{1}, P_{2}, P_{3} \) und \( P_{4} \) liegt, d.h. die Summe der Abstände \( d(m) \) der Punkte zu der Geraden wird minimal:
$$ d(m)=\sum \limits_{i=1}^{4}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} $$
Weisen Sie notwendige und hinreichende Bedingung nach und zeichnen Sie die Punkte und die Näherungsgerade in ein Koordinatensystem.

Problem/Ansatz:

Ich hoffe, Sie erklären mir die Methoden der Lösung, da ich nicht wissen konnte, wie ich anfangen soll, Z.B was bedeutet die Gerade nah an den Punkte, und wie kann ich diese Ubunge losen

Answer 1

Die Grundlagen siehe

https://www.geogebra.org/m/ku9JMAPU

für f(x)=m x

\(d(m) \, :=  \, \left(-m \cdot 2 - 3 \right)^{2} + \left(-m - 1 \right)^{2} + 49 + \left(m + 2 \right)^{2}\)

und notwendige und hinreichende Bedingung Minimum

d'(m)=0  (d''(m)=?)

===>

m=-3/2