Extremwertaufgabe Analyse eines Würfels

Question

Aufgabe:

Analysieren Sie die Funktion im Würfel

\( f : [0, \pi] \times [0, \pi] \times [0, \pi] \longrightarrow \mathbb{R} \)\( f(x, y, z) = \sin x + \sin y + \sin z - \sin(x + y + z) \)

a) In welchen Punkten des Würfels verschwindet der Gradient, d.h. nabla \( \nabla f(x, y, z) = 0 \)

b) Welche Punkte aus a) liegen im Innern des Würfels und welche am Rand?

Problem:

Ich bin bei a) etwas verwirrt wie man diese Aufgabe berechnen soll. Ich habe zwar die Gradienten berechnet also:

\(\frac{\partial f}{\partial x} = \cos x - \cos(x + y + z)\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = \cos y - \cos(x + y + z\)
\(\frac{\partial f}{\partial z} = \cos z - \cos(x + y + z)\)

Danach habe ich die Gradienten gleich Null gesetzt und umgestellt

 \(\cos x - \cos(x + y + z) = 0 \)

\(\cos y - \cos(x + y + z) = 0\)

\(\cos z - \cos(x + y + z) = 0\)

Also...

\(\cos x = \cos(x + y + z)\)

\(\cos y = \cos(x + y + z)\)

\(\cos z = \cos(x + y + z) \)

Danach müssen \(x ,y, z\) so gewählt werden, so das die cos-funktionen gleich sind (in den Grenzen \([0, \pi]\))

Also müssen \(x ,y, z\) im interval liegen. Das heißt \(0 \leq x, y, z \leq \pi\)

Und ab da weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll, kann mir jemand dabei helfen?

Answer 1

Ist doch gut soweit.

\(0 \le x, y, z \le \pi\)

Das ist keine Neuigkeit, steht schon oben als Defbereich von \(f\).

Nun betrachte \(\cos\) auf \([0,\pi]\): Dort ist \(\cos\) umkehrbar, also folgt \(x=y=z\). Das sollte Dich ein großes Stück weiterbringen...

Comments

Also ist das Ergebnis bei a)

\((0, 0, 0) \) und \( (\pi, \pi, \pi)\) ?

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Ja, aber dazu muss man die Gleichung \(\cos x=\cos (3x)\) lösen. Ich hoffe Du hast gemacht...

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Ja, das habe ich auch gemacht. Danach habe ich zwei fälle betrachtet für k= 0 und k= 1, die habe ich danach nach x umgestellt. Das ich habe danach eingesetzt

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Kann anhand Deiner Beschreibung nicht nachvollziehen, wie Du das gemacht hast. Wenn Du wissen willst, ob Dein Weg richtig ist, lade die komplette Rechnung zu diesem Teil hoch.

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Setzen wir \(x = y = z\), erhalten wir:

\(x + y + z = 3x\)

=> \(\cos x = \cos(3x)\)

Da \(\cos\) auf \([0, \pi]\) umkehrbar ist (2 Fälle):

\(3x = x + 2k\pi \quad \text{oder} \quad 3x = -x + 2k\pi\)

Für \(k = 0\):

\(3x = x \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0\)

Für \(k = 1\):

\(3x = x + 2\pi \quad \Rightarrow \quad 2x = 2\pi \quad \Rightarrow \quad x = \pi\)

Lösung \(x = 0\)

 \(x = y = z = 0 \)

 Dann ist \(\cos(0) = 1\) und \(\cos(0 + 0 + 0) = 1\), also ist \(\nabla f(0, 0, 0) = 0\).

Lösung \(x = \pi\):

 \(x = y = z = \pi \)

 Dann ist \(\cos(\pi) = -1\) und \(\cos(\pi + \pi + \pi) = \cos(3\pi) = -1\), also ist \(\nabla f(\pi, \pi, \pi) = 0\).

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(0,0,0) und \( (\pi, \pi, \pi)\) sind Lösungen und erfüllen auch die Probe. Es gibt aber noch eine Lösung, die bei sorgfältigem Rechnen auftaucht. Und die liegt auch nicht so unschön am Rande des Defbereichs.

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Du hast übersehen, dass \(3x\) nicht unbedingt in \([0,\pi]\) liegt, sondern in \([0,3\pi]\), und da ist \(\cos\) nicht mehr umkehrbar.

Zur Lösung schreibe \(\cos(3x)=\cos(x+2x)\) mit Additionstheorem um, und verwende \(\sin (2x)=2\sin x\cos x\), und \(\sin^2x=1-\cos^2 x\). Dann erst setze \(=\cos x\) und löse.

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Ah! Das heißt, ich muss noch \(x= \frac{\pi}{2}\) betrachten?

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So schnell? Aber ja, Ergebnis stimmt (Probe nicht vergessen!).

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Ok, danke für deine Hilfe^^