Zeige, ist f auf U ein lokaler Diffeomorphismus, so besitzt die Funktion

Question

Aufgabe:

Sei $$U ⊆ \mathbb{R}^n$$ offen und beschränkt und $$f : U → \mathbb{R}^n$$ sei stetig auf $$U$$

Zeige, ist f auf U ein lokaler Diffeomorphismus, so besitzt die Funktion
$$g : U → R, x → ∥f(x)∥$$ ein globales Maximum und dieses wird auf dem Rand $$∂U$$ angenommen

Comments

Wie kann g ein Maximum auf dem Rand von U annehmen, wenn g dort gar nicht definiert ist?

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Es soll eigentlich $$\bar U$$ sein. hab mich nur verschrieben. Sorry

Answer 1

Hallo,

ich betrachte also

$$g:\bar{U} \to \R, \quad g(x):=\|f(x)\|^2=\langle f(x),f(x)\rangle$$

(Das Quadrieren ändert nichts am Problem.) Wenn g stetig ist, dann besitzt g auf dem Kompaktum \(\bar{U}\) ein Maximum, sagen wir bei x=a. Wir zeigen: a liegt nicht in U.

Wenn bei \(a \in U\) eine Maximum von g läge, dann müsste für jede Richtung v gelten:

$$\phi'(0)=0 \text{  für } \phi(t)=g(a+tv)$$

Nach den Rechenregeln für das Differenzieren ist

$$\phi'(0)=\langle f'(a)v,f(a)\rangle + \langle f(a),f'(a)v\rangle$$

Für \(v:=(f'(a))^{-1}f(a)\) erhalten wir aber einen positiven Wert für \(\phi'(0)\).

(f(a)=0 kann nicht sein, weil sonst a eine Minimum von g wäre.)

Gruß Mathhilf