Injektivität, lokaler Umkehrsatz und Ableitung - wie weist man das nach?

Question

Injektivität, lokaler Umkehrsatz und Ableitung - wie weist man das nach?

Aufgabe:

Übung 7 Frage.PNG

Text erkannt:

Aufgabe 26 (Pflichtaufgabe)
a) Gegeben sei die Funktion $ \vec{f}:(0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ mit
$$ \vec{f}(x, y)=\left(\begin{array}{c} \cosh (x) \cos (y) \\ \sinh (x) \sin (y) \end{array}\right) $$
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
i) $ \vec{f} $ ist nicht injektiv.
ii) In jedem Punkt des Definitionsbereiches existiert die lokale Umkehrabbildung von $ \vec{f} $
Ist dies ein Widerspruch? Schränken Sie den Definitionsbereich geeignet ein, um eine injektive Funktion zu erhalten.
b) Gegeben seien die Funktionen $ \vec{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ und $ \vec{h}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ mit
$$ \vec{g}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 2 y e^{2 x} \\ x e^{y} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{h}(x, y)=\left(\begin{array}{c} 3 x-y^{2} \\ 2 x+y \\ x y+y^{3} \end{array}\right) $$
i) Zeigen Sie, dass $ \vec{g} $ um den Punkt $ \vec{a}=(0,1) $ lokal bijektiv ist.
ii) Berechnen Sie $ D\left(\vec{h} \circ(\vec{g})^{-1}\right)(2,0) $.

Text erkannt:

Alulgabe 26
a) $ \vec{\rho}:(0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ mit $ \quad f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}\cos h(x) & \cos (y) \\ \sin (x) & \sin (y)\end{array}\right) $
Zeigen rie :
i) $ \bar{\rho} $ iot nicht injeativ
ii) In jecem Ponut des Defimitions berelichs exiotieit clie lobale Umhehrabbilewry von $ \overrightarrow{1} $ Definifionabereici geeignet eingchränten um eine injelive Funkton av erhalten
$ f(x, y)=\left(\begin{array}{c}\operatorname{cog} h(x) \cos (y) \\ \sin h(x) \sin (y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11 \\ 12\end{array}\right) $
$ \left.f_{x}(x, y)=\left(\begin{array}{c}\sin (x) \cos (y) \\ \operatorname{cogh}(x) \sin (y)\end{array}\right)\right] $
$ \left.\operatorname{ly}(x, y)=\left(\begin{array}{c}-\cos (x) \sin (\gamma) \\ \sinh (x) \cos (y)\end{array}\right)\right] $
det $ J p(x, y)=\frac{1}{2}(\cosh (\alpha x)-\cos (2 y)) $
differenierbare Uminctrabilany $ \vec{g}: \operatorname{sg}(\rho(x, y))= $ $ \frac{1}{2}(\cos h(\alpha x)-\cos (\lambda y))\left(\begin{array}{ccc}\sin \lambda(x) \cos (y) & -\cosh (x) \sin (y) \\ \cos \lambda(x) & \sin (y) & \sin (x) \cos (y)\end{array}\right) $

Problem/Ansatz:

Habe Frage zu obiger Aufgabe.

Mein Ansatz (für a) ist es wie auch zu sehen zunächstmal die Jacobi matrix und dann die differenzierbare Umkehrabbildung zu bilden, jedoch weiss ich weder ob dies ein richtiger Ansatz ist noch wie ich weiter machen kann von hier aus.

Falls ihr eventuell die Lösung zu dieser Aufgabe (a) und b)) für mich hättet wäre das ideal.

Liebe Grüße und danke für alle Antworten!

Gefragt 30 Mai 2021 von dilbirin2

📘 Siehe "Implizite funktion" im Wiki

1 Antwort

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racine_carrée · Answer 1 · 2021-05-30T19:15:44+0000

a)

i)

Salopp gesprochen bedeutet Injektivität: "Wenn das gleiche rauskommt, wurde auch das gleiche reingesteckt"

Eine Funktion ist entsprechend nicht injektiv, wenn man mit zwei verschiedenen Inputs, ein und denselben Output bekommt. Nun sind aber die trigonometrischen Funktionen $2\pi$-periodisch. Daher lässt sich leicht ein Beispiel konstruieren, bei dem das oben nicht mehr gilt. Setzen wir mal $x=0$ fix, dann gilt für die obere Teilfunktion $\cosh(0)\sin(y)=\cos(y)$ und für die untere $\sinh(0)\cdot \sin(y)=0$. Nun kannst du also z. B. $y=0$ wählen und $y=2\pi$, also die beiden Punkte $(0,0)$ und $(0,2\pi)$. Der Kosinus ist hier beide mal gleich 1.

Es gilt im Widerspruch zur Injektivität:$$f(0,0)=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=f(0,2\pi)$$ ii)

Hier verwendest du einfach den lokalen Umkehrssatz. Du musst zeigen, dass die Jacobi-Matrix in jedem Punkt invertierbar ist - hierzu weise nach, dass die Determinante für alle Punkte ungleich 0 ist.

PS: Kein Widerspruch! Globale Injektivität ist ungleich lokaler Injektivität.

b)

i) Ebenfalls eine Anwendung des lokalen Umkehrsatzes. Wenn die Jacobi-Matrix von $g$ in dem Punkt invertierbar ist, d. h. die Detereminante ungleich null, dann gibt es eine offene Umgebung $U$ um den Punkt und eine Umgebung $g(U)$ um dessen Bildpunkt, so dass zwischen diesen Umgebungen ein $C^1$-Diffeomorphismus (die Einschränkung von $g$ auf $U$) vermittelt. Ein Diffeomorphismus ist per definitonem bijektiv.

ii) Anwenden der Mehrdimensionalen Kettenregel in Kombination mit dem lokalen Umkehrsatz, der besagt, dass $J_g(g(x))=J_g(x)^{-1}$.

Injektivität, lokaler Umkehrsatz und Ableitung - wie weist man das nach?

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