Aloha :)
Du kennst bestimmt den Umkehrsatz für lineare Funktionen$$f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n\,,\,\vec x\mapsto A\cdot\vec x$$die mittels einer Matrix \(A\) ausgedrückt werden können. \(f(\vec x)\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\operatorname{det}(A)\ne0\) ist.
Zur Verallgemeinerung auf beliebige Funktion \(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n\) tritt an die Stelle der Abbildungsmatrix \(A\) die Jacobi-Matrix \(J\) und aus der globalen Umkehrbarkeit wird eine lokale Umkehrbarkeit.
Du sollst also in Teil (a) zeigen, dass die Determinante der Jacobi-Matrix für alle erlaubten Punkte \((x;y)\) ungleich Null ist. Die Jacobi-Matrix enthält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren:$$f(x;y)=e^x\binom{\cos y}{\sin y}$$$$J_f(x;y)=\left(\begin{array}{rr}e^x\cos y & -e^x\sin y\\e^x\sin y & e^x\cos y\end{array}\right)$$$$\operatorname{det}(J_f(x;y))=e^x\cos y\cdot e^x\cos y+e^x\sin y\cdot e^x\sin y=e^{2x}(\cos^2y+\sin^2y)=e^{2x}>0$$Für alle Punkte \((x;y)\) ist die Determinante der Jacobi-Matrix positiv, also ungleich \(0\).
