Lokaler Umkehrsatz, det (Jac f) = 0

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ mit
$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\exp \left(x_{1}\right)\left(\begin{array}{c} \cos \left(x_{2}\right) \\ \sin \left(x_{2}\right) \end{array}\right) .$
a) Zeigen Sie, dass $f$ in der Nähe eines jeden Punktes $x_{*} \in \mathbb{R}^{2}$ lokal invertiert werden kann.

Problem/Ansatz:
Hier kann die Determinante der Jacobimatrix für manche Werte ja 0 werden
Deswegen frage ich mich womit ich das sonst zeigen kann/soll.

Answer 1

Hier kann die Determinante der Jacobimatrix für manche Werte ja 0 werden

Da hast Du Dich verrechnet. Dein Ansatz ist richtig.

Answer 2

Aloha :)

Du kennst bestimmt den Umkehrsatz für lineare Funktionen$$f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n\,,\,\vec x\mapsto A\cdot\vec x$$die mittels einer Matrix $A$ ausgedrückt werden können. $f(\vec x)$ ist genau dann invertierbar, wenn $\operatorname{det}(A)\ne0$ ist.

Zur Verallgemeinerung auf beliebige Funktion $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ tritt an die Stelle der Abbildungsmatrix $A$ die Jacobi-Matrix $J$ und aus der globalen Umkehrbarkeit wird eine lokale Umkehrbarkeit.

Du sollst also in Teil (a) zeigen, dass die Determinante der Jacobi-Matrix für alle erlaubten Punkte $(x;y)$ ungleich Null ist. Die Jacobi-Matrix enthält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren:$$f(x;y)=e^x\binom{\cos y}{\sin y}$$$$J_f(x;y)=\left(\begin{array}{rr}e^x\cos y & -e^x\sin y\\e^x\sin y & e^x\cos y\end{array}\right)$$$$\operatorname{det}(J_f(x;y))=e^x\cos y\cdot e^x\cos y+e^x\sin y\cdot e^x\sin y=e^{2x}(\cos^2y+\sin^2y)=e^{2x}>0$$Für alle Punkte $(x;y)$ ist die Determinante der Jacobi-Matrix positiv, also ungleich $0$.

Comments

Omg bin mega unkonzentriert weil ich zur Zeit krank bin und hab beim Ableiten richtigen Mist produziert
Vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung

Meinst du du kannst mir auch noch 1, 2 Tipps für b) geben? Da stehe ich irgendwie auf dem Schlauch wie ich überhaupt vorgehen soll.

b) Zeigen Sie, dass $f$ keine globale Umkehrfunktion besitzt, indem Sie für jedes $y \in \mathbb{R}^{2}$ mit $y \neq(0,0)$ zeigen, dass die entsprechende Urbildmenge
$N_{f}(y)=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}: f(x)=y\right\}$
unendlich viele Elemente enthält.

(Hinweis: Benutzen Sie Polarkoordinaten für y ≠ 0. - da kenne ich zwar die Formel aber sehe nicht wie ich sie hier genau anwenden kann)

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Das ist nochmal eine etwas größere Rechnung, daher würde ich dich bitten, die Frage hier abszuschließen und Teil b) als neue Frage einzustellen.

Sonst wird das bei der Suchfunktion für ähnliche Probleme zu unübersichtlich.

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Mache ich sofort danke =)