Lokaler Umkehrsatz (x,y)↦(x²-y,x+xy)

Question

Wir betrachten \(\varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 , (x,y)↦(x^2-y,x+xy)\). Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobimatrix in \(P=(x,y)\) ist \(\begin{pmatrix} 2x & -1 \\ 1+y & x \end{pmatrix}\). Die Determinante davon ist \(2x^2+1+y\), so dass die Bedingung \(y\neq -2x^2-1\) die regulären Punkte charakterisiert.

Im Nullpunkt (0,0) liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen \(U_1\) und \(U_2\) von (0,0) derart, dass die eingeschränkte Abbildung \(\varphi |_{U_1} : U_1\to U_2\) bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung)

Wie groß kann dabei \(U_1\) gewählt werden?

Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen \(U((0,0),r)\). Bei \(r>1\) enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Art \((\pm x , -1)\)

Hier höre ich jetzt erst einmal auf. Ich verstehe nämlich nicht, wie man auf  \((\pm x , -1)\) bzw. woher das kommt?

Quelle: https://de.wikiversity.org/wiki/Umkehrsatz/(x,y)_nach_(x%5E2-y,x%2Bxy)/Umkehrbarkeit_um_Null/Beispiel

Answer 1

Du möchtest den größten Ballradius r finden, s.d. auf dem Ball mit Radius r um (0,0) eine Umkehrabbildung existiert.

Falls r>1 sieht das ganze etwa so aus:

~draw~ kreis(0|0 1.9)#;punkt(0.8|-1);punkt(-0.8|-1);gerade(1|-1 -1|-1);zoom(2) ~draw~

D.h. die Gerade y=-1 schneidet den Rand der Umgebung in zwei Punkten, also existiert aus Symmetriegründen ein x s.d.

$$ (\pm x, -1 )\in U_r ((0,0)) $$

Comments

Wenn man mal weiter liest, wird ja untersucht ob \(U_1((0,0),r)\) in Frage kommt. Hätte man sich das nicht gleich sparen können? Weiter heißt es, dass \(U_1\) keine kritischen Punkte enthält (Hat der Kreis das nicht bei (1,0)?)

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Wenn man mal weiter liest, wird ja untersucht ob U1((0,0),r) in Frage kommt. Hätte man sich das nicht gleich sparen können?

Zuerst wird gezeigt, dass r > 1 nicht möglich ist.

Anschließend wird gezeigt, dass r = 1 funktioniert. Also hast du dann den größten Radius gefunden.

Man muss schon beides gezeigt haben. Würdest du nur r=1 zeigen könnte es ja auch noch größere geben. Vielleicht verstehe ich auch gerade deine Frage falsch?

Weiter heißt es, dass U1 keine kritischen Punkte enthält (Hat der Kreis das nicht bei (1,0)?)

Beachte, dass

$$ U_r ( x ) := \{ y \in \mathbb{R}^n ~|~ |y-x| \boldsymbol{<} r \} $$

(1,0) liegt also für r=1 nicht mehr in der Umgebung.

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Alles gut, hat sich mittlerweile erledigt. Ich hatte irgendwo einen Dreher.