Zeige: Nichtlineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
$$\sin(x+u) - e^y + 1 = 0$$ $$x^2 + y + e^u = 1$$

unendlich viele Lösungen $(x, y, u)$ besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, die Jacobi-Matrix zu bestimmen (damit ich den Satz impliziter Funktionen anwenden kann)
$$ J_{(x,y,u)} = \left[\begin{array}{ccc} \cos(x+u) & -e^y & \cos(x+u) \\ 2x & 1 & e^u   \end{array}\right] $$
aber natürlich ist das keine quadratische Matrix und somit kann die Determinante nicht bestimmt werden. Jetzt haben wir eine 3x2 Matrix.. Jemand meinte, dass ich eine dritte Gleichung H(x,y,u) = u hinzufügen kann, aber warum ist das erlaubt?

Answer 1

Hallo

Du willst doch nur oo viele Lösungen: zu 1: nimm ein beliebiges x und u  dann ist der sin zwischen -1 und +1  dann kann man immer ein y finden so dass die Gleichung richtig ist.  ebenso bei 2.  y=....

Das hat weder mit der Jakobimatrix noch mit Umkehrfunktionen zu tun.

Gruß lul

Comments

Es geht hier um ein Gleichungssystem. Wenn ich deine Antwort richtig verstehe, betrachtest du die Gleichungen getrennt...

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Hallo

Danke und sorry, das hatte ich glatt übersehen

lul

Answer 2

Selbstverständlich kannst du hier den Satz über implizite Funktionen anwenden.

Betrachte dazu

$$F(x,y,u)= \begin{pmatrix} f_1(x,y,u) \\ f_2(x,y,u)\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \sin(x+u) -e^y + 1 \\ x^2+y+e^u - 1\end{pmatrix}$$

Für \((x_0,y_0,u_0) = (0,0,0)\) gilt offensichtlich

$$F(0,0,0) = \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$$

Jetzt musst du nur noch die Jakobi-Matrix an der Stelle \((0,0,0)\) betrachten:

$$J_F(0,0,0) = \begin{pmatrix} 1 & {\color{blue}{-1}} & {\color{blue}{1}} \\ 0 & {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{1}}\end{pmatrix}$$

Die blau hervorgehobene Submatrix hat eine von null verschiedene Determinante. Also gibt es laut Satz über implizite Funktionen in einer Umgebung von \(x_0 = 0\) eine Funktion

\(g(x) = \begin{pmatrix} y(x)\\ u(x) \end{pmatrix}\) mit \(g(0) = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}\) und \(F(x,g(x)) = 0\).

Damit hat das System unendlich viele Lösungen.