Gegeben ist:$$\begin{cases}3\exp (x^2)+\ln (y^2+1)+y^2\sin(v)+y=3 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, 2xy+\sin(y)+\exp(v)=1\end{cases}$$ für \(z=(x,y,v)\in \mathbb{R}^3\) mit der speziellen Lösung \(z_0=(0,0,0)\in \mathbb{R}^3\).
Ich muss nun zeigen, dass es ein \(\varepsilon >0\) und eine \(C^1\)-Kurve \(g: (-\varepsilon, \varepsilon)\to \mathbb{R}^2\) mit \(g(0)=(0,0)\), so dass \((t, g_1(t), g_2(t))\) für alle \(t\in (-\varepsilon , \varepsilon)\) das Gleichungssystem löst.
Dafür setze ich \(F\in C^1(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)\), \(F(x,y,v)=\begin{pmatrix} 3\exp (x^2)+\ln (y^2+1)+y^2\sin(v)+y-3\\2xy+\sin(y)+\exp(v) -1\end{pmatrix}\). Dann ist \(F(z_0)=(0,0)\). Nach welchem Variablenpaar liefert der Satz über implizite Funktion eine lokale Auflösung vom GS bei \(z_0\) als Funktion vom anderen Variablenpaar?
Ich habe einfach mal die Determinante der Jacobi-Matrix für die jeweiligen Paare berechnet und herausgefunden, dass nur die Determinante der Jacobi-Matrix bzgl. \((y,v)\) nicht null und damit regulär (d. h. invertierbar) ist.
