Wie wende ich hier den Satz der impliziten Funktion hier an?

Question

Text erkannt:

(c) Bestimme die Menge \( S \) aller Punkte \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \mathbb{R}^{3} \), so dass durch den Satz der impliziten Funktion auf einer Umgebung von \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) eine Funktion \( \varphi(x, y) \) existiert mit \( z_{0}=\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right) \) und alle Lösungen von
\( f(x, y, z)=x y^{2}+4 x^{2} z+z^{2} y^{2}=0 \)
von der Form \( (x, y, \varphi(x, y)) \) sind. Bestimme zudem den Gradienten \( \nabla \varphi(x, y) \) für einen Punkt der zu \( S \) gehört.

Answer 1

Aloha :)

Da die Funktion \(f(x;y;z)\) für alle \((x;y;z)\in\mathbb R^3\) gleich Null ist,$$f(x;y;z(x;y))=xy^2+4x^2z+y^2z^2=0$$muss auch ihre Ableitung überall gleich Null sein:$$0\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial(x;y)}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial(x;y)}\implies\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial z}{\partial y}\end{array}\right)=0\implies$$$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial z}{\partial y}\end{array}\right)=-\frac{1}{\frac{\partial f}{\partial z}}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)=-\frac{1}{4x^2+2y^2z}\left(\begin{array}{c}y^2+8xz\\[1ex]2xy+2yz^2\end{array}\right)$$

Da der Nenner nicht Null sein darf, ist dieser Gradient nur definiert, falls$$(x,y;z)\in S\coloneqq\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\;\big|\;y^2z\ne-2x^2\right\}$$

Answer 2

Die Aufgabe ist falsch gestellt: Der Satz über implizite Funktionen kann eine solche Menge S nicht liefern. Denn zu den Voraussetzungen des Satzes gehört ja, dass im Punkt (x_0,y_0,z_0) überhaupt eine Lösung vorliegt.

Einfaches Beispiel: (1,2,1) gehört zu der von T angegebenen Menge. In diesem Punkt gibt es aber keine Lösung, weil f(1,2,1) ungleich 0 ist.

Allerdings bin ich mir sicher, dass der Aufgabensteller die von T angegebene Lösung erwartet und die Technik zu Berechnung der Ableitungen wäre richtig in allen Punkten, in denen die Voraussetzungen erfüllt wären.