Ableitungen von impliziten Gleichungen: Steigung der Tangente an Kurve y^2+(xy+1)^3 = 0 im Punkt (2,-1)?

Question

Hallo ich bräuchte etwas Hilfe bei den folgenden zwei Aufgaben. Wenn es dazu noch einen allgemeinen Lösungsweg gibt wäre ich froh diesen zu erfahren.
1.Wenn $$\dfrac{dy}{dx} = \sqrt{1-y^2}$$ dann gilt $$\dfrac{d^{2}y}{dx^2}= ?$$
2.Die Steigung der Tangente an die Kurve y^2+(xy+1)^3 = 0 am Punkt (2,-1) ist ?

Habs mal ergänzt wie es hoffentlich gemeint war (für TeX doppelt $ setzen ;)) (Unknown)

Comments

Ich sehe gerade es hat sich ein Fehler ein geschlichen.

Es ist nur nach \dfrac{d^2y}{dx^2} gesucht, dieses soll nicht gleich -2 sein. Die 2 hat eigentlich zu Aufgabe 2 gehört und keine Ahnung wie sich das Minus eingeschlichen hat

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Habs angepasst :).

Answer 1

F(x, y) = y^2 + (x·y + 1)^3 = 0

Fx'(x, y) = 3·x^2·y^3 + 6·x·y^2 + 3·y

Fy'(x, y) = 3·x^3·y^2 + 6·x^2·y + 3·x + 2·y

y'(x, y) = -Fx'(x, y) / Fy'(x, y)

y'(x, y) = -(3·x^2·y^3 + 6·x·y^2 + 3·y) / (3·x^3·y^2 + 6·x^2·y + 3·x + 2·y)

y'(2, -1) = -(3·2^2·(-1)^3 + 6·2·(-1)^2 + 3·(-1)) / (3·2^3·(-1)^2 + 6·2^2·(-1) + 3·2 + 2·(-1)) = 0.75

y = 0.75·(x - 2) - 1