Eine schöne Aufgabe!
Wenn man das so weit abstrahiert, dass jede Farbverteilung von Hasen ein Punkt in einer Ebene ist, so ergibt sich folgendes Bild:
Der roten Punkt links unten steht für die Existenz von 15 rote Hasen, der blaue Punkt rechts für 15 blaue Hasen und oben im gelben Punkt ist der Zustand für 15 gelbe Hasen dargestellt. Alle Punkte, die auf der roten Geraden liegen, stehen für eine Population mit 6 roten Hasen. Dort wo sich die rote Gerade mit der Geraden durch rot und blau schneidet, wären es 6 rote und 9 blaue und der Schnittpunkt der roten Geraden mit der Verbindung rot gelb steht für 6 rote und 9 gelbe Hasen.
Damit ist jede mögliche Population durch einen der Punkte auf dem Bild abgedeckt. Der Zustand 6 rote, 5 blaue und 4 gelbe Hasen ist der markante grüne Punkt \(<6,5,4>\). Siehe auch Baryzentrische Koordinaten.
Jetzt kann man sich überlegen, wie sich ein Treffen zweier Hasen auswirkt. Dafür gibt es sechs Möglichkeiten, die ich mit \(R\), \(B\) und \(G\) benenne sowie die inversen Operationen \(R^{-1}\), \(B^{-1}\) und \(G^{-1}\). Ein \(R\) bedeutet: es treffen sich zwei nicht rote Hasen unterschiedlicher Farbe, die anschließend beide rot sind. Damit wächst die Anzahl der roten um 2 und die Anzahl der gelben und blauen ist um 1 weniger \(+<2,-1,-1>\). Würde das im grünen Punkt (s.Bild) passieren befindet man sich anschließend in einem Punkt in Richtung der grünen Verbindung nach links unten.
$$<8,4,3> = <6,5,4> + <2,-1,-1>$$Treffen sich zwei rote Hasen, so bewegt sich der Zustand der Population wieder zurück zum Ausgangspunkt - d.h die Operation war \(R^{-1}\).
$$ <6,5,4> = <8,4,3> - <2,-1,-1>$$
Würde man man alle möglichen Züge als grüne Strecken in das Bild einzeichnen, so bekäme man ein Dreiecksmuster, dessen Dreiecke dreimal so groß sind, wie die Ausgangsdreiecke. Es ist offensichtlich, dass so nur ein Drittel aller Punkte erreicht werden kann, und die drei Eckpunkte gehören nicht dazu, wenn man beim grünen Punkt startet. Ich habe beispielhaft nur wenige der grüne Strecken eingezeichnet.
Mit der Ausgangspopulation \(r=6\), \(b=5\) und \(g=4\) ist es also nicht möglich, dass irgendwann mal alle Hasen rot werden.
Der Hinweis \(Z3\) führt zu einer weiteren Lösung. Angenommen es existiert eine Lösung mit einer endlichen Anzahl \(n\) von Zügen (bzw. Treffen \(T_i\) ). Dann ließe sich dies formal zum Beispiel so hinschreiben:
$$<6,5,4> + T_1 + T_2 + ... + T_n = <15,0,0> \quad T_i=\in \{ R, B, G, R^{-1}, B^{-1}, G^{-1}\}$$
Diese Gleichung muss auch dann noch korrekt sein, wenn die Anzahl der Hasen einer Farbe durch ihre jeweilige Repräsentation in \(Z3\) ersetzt wird. Also
$$<0,2,1> + T_1 + T_2 + ... + T_n = <0,0,0>$$
Die sechs möglichen Operationen (s.o.) lauten in \(Z3\) wie folgt:
$$R \equiv B \equiv G \equiv +<2,2,2> \bmod 3$$
$$R^{-1} \equiv B^{-1} \equiv G^{-1} \equiv +<1,1,1> \bmod 3$$
D.h. egal welche Folge von \(T_i\) man wählt. Die drei Koordinaten des resultierenden Zustands werden immer unterschiedlich sein, und somit nie den Wert \(<0,0,0>\) erreichen. Auch hier lautet das Ergebnis: der Zustand, dass alle Hasen rot sind, kann nicht erreicht werden.
Gruß Werner
