Welche der folgenden Abbildungsvorschriften beschreiben wohldefinierte Abbildungen?

Question

Hallo Ich hole Momentan Stoff auf, wir haben Blätter bekommen, zur Übung aber ich komme mit der Aufgabe nicht klar.

Wenn mir die Aufgabe jemand aufschlüsseln könnte damit ich das nachvollziehen könnte,wäre ich dankbar.

Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungsvorschriften beschreiben wohldefinierte Abbildungen? UntersuchenSie darüber hinaus die wohldefinierten Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität und geben Sie ggf. die Umkehrabbildung an. Alle Aussagen sind zu begründen.

a)

ℝ→ℝ

x→x3

b)

ℝ→ℝ

x2→x

c)

ℕ\{0}→ℕ

n→Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von n

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz, da ich noch nicht ganz in dem Thema drinnen bin.

Answer 1

Bei a) etwa

1. Überlegung: Ist durch x→x^3 für jedes x ∈ℝ ein Bild in ℝ eindeutig

festgelegt ?  Ja, das ist immer y = x^3 also wohldefiniert.

injektiv ? Folgt aus a^3 = b^3 irgendwie  a= b ?

Antwort ja, kann man nachrechnen oder auch argumentieren:

Die Funktion ist streng monoton steigend, also injektiv.

surjektiv ? Gibt es für jedes y∈ℝ ein x mit f(x) = y.

Ja, denn wenn y≥0 ist, dann ist x die 3.Wurzel aus y

und für negatives y die 3.Wurzel aus -y.