a) 15310 = 11035, denn 153 = 1*53 + 1*52 + 0*51+3*50
15310 = 100110012, denn 153 = 1*27 + 1*24+1*23+1*20 = 128+16+8+1
b) Die duale Darstellung von Brüchen funktioniert mit den negativen Potenzen von 1/2, also 0.12=1/2, 0.012 = 1/4, 0.112 = 3/4, usw.
Ich möchte die Herleitung mal anschaulich machen, weil sie nicht soo einfach ist:
1/2, 1/4 und 1/8 sind allesamt größer als 1/10, können also nicht in der Zahl vorkommen. Sie beginnt also schonmal mit 0,000...
Danach kommt 1/16, das ist kleiner als 1/10 also auf jeden Fall dabei. Berechnen wir die Differenz, damit wir wissen, was noch fehlt:
1/10 - 1/16 = (16-10)/160 = 6/160 = 3/80
1/32 ist bereits kleiner als 3/80, denn 1/32=3/96, also kommt auch an die fünfte Stelle eine 1. Uns fehlt noch:
3/80 - 3/96 = 1/160
1/64 und 1/128 sind offenbar größer, also wieder zwei 0en, wir sind inzwischen bei
0,0001100...
das nächste ist 1/256, das passt wieder rein, die Differenz ist noch
1/160 - 1/256 = 3/1280
1/512 passt offenbar rein, denn 1/512=3/1536, es bleibt:
3/1280-1/512 = 1/2560
Jetzt passen wieder zwei nicht rein und ich vermute, dass sich das von da an wiederholt - einen Beweis habe ich nicht, vielleicht findest du dazu etwas in deinen Unterlagen?
Ich vermute also:
1/10 = 0.000110011001100...2
c) Die Eindeutigkeit folgt aus der Konstruktionsvorschrift:
Sei n eine natürliche Zahl dann erhält man die k-te Stelle (von rechts) der b-adischen Darstellung gemäß
xk = nk % b,
nk+1 = (nk-xk)/b
Als Beispiel: Wir suchen 72 zur Basis 3:
x0 = 72 % 3 = 0, denn 72=3*24
n1 = 72/3 = 24
x1 = 24%3 = 0, denn 24 = 3*8
n2 = 24/3 = 8
x2 = 8%3 = 2, denn 8 = 2*3+2
n3 = (8-2)/3 = 2
x3 = 2%3 = 2, denn 2 = 0*3+2
n4 = 0
Und nun würden nur noch 0en folgen. Damit ist die Darstellung von 72 zur Basis 3:
x3x2x1x0 = 2200
Da es bei dieser Ableitung keine mehrdeutigen Schritte gibt, ist die Darstellung bei beliebiger Basis eindeutig.
