Wie berechnet man die Höhe der Messstation?

Question

Aufgabe:

Die Lufttemperatur nimmt bei zunehmender Höhe ziemlich gleichmäßig um ca. 0,65°C pro 100 m ab. Auf 220 m Seehöhe hat es 8,7°C. Wie hoch befindet sich eine Messstation, die -35,3°C anzeigt?

Problem/Ansatz:

Sehr geehrtes Team! Die folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten. Wie berechne ich das? Ich bitte um eine nachvollziehbare Auflistung der einzelnen Rechenschritte

Vielen Dank im Voraus

MfG
swag

Answer 1

Berechne den Temperaturunterschied zwischen der Höhe von 220m und der Messstation. Teile ihn durch 0,65°C. Dann hast du den Höhenunterschied zwischen der Höhe von 220m und der Messstation.

Comments

Sorry, sehr geehrter Herr Oswald, aber ich kann dieser Rechnung nicht folgen. Es ist die Höhe der Messtation zu berechnen. Wie berechne ich die Höhe?
MfG swag

---

Wie berechne ich die Höhe?

mache Dir ein Bild vom Verlauf der Temperatur (senkrecht in Grad Celsius) zur Höhe (waagerecht in Metern)

https://www.desmos.com/calculator/1l66s5wy0w

Answer 2

Temperaturrückgang:

8,7-(-35,3) = 44°

Dreisatz:

0,65° -- 100m

1° --- 100/0,65 = 153,85m

43,9° -- 153,85*44 = 6769,4

220m+ 6769,4m = 6989,4 m

oder:

f(x) = mx+b

f(8,7)= 220

f(7,4) = 420

m= (420-220)/(7,4-8,7) = -153,85

7,4*(-153,85)+b= 420

b= 1558,5

f(x) -153,85x+ 1558,5

f(-35,3) = 6989,4 m

Comments

6989,4 m

Mit einer derartigen Präzision kann man bei einer solchen "Aufgabe" ganz bestimmt nicht rechnen. Da kann nämlich schon bei den Eingangswerten kaum irgendwas präzise sein.

Das beste, was man da etwa extrahieren könnte, wäre vielleicht:  "etwa 7000 m".

Alles andere wäre unsachliches Geflunker.

Answer 3

Wir stellen die Funktion der Temperatur y in °C in einer Höhe x in m auf.

y = -0.0065·(x - 220) + 8.7

Da wir die Höhe wissen wollen lösen wir die Gleichung nach x auf.

-0.0065·(x - 220) + 8.7 = y
-0.0065·(x - 220) = y - 8.7
x - 220 = (y - 8.7)/(-0.0065)
x = (8.7 - y)/(0.0065) + 220

Wir setzen ein

x = (8.7 - (-35.3))/(0.0065) + 220 = 6989 m

Man befindet sich damit in etwa 7000 m Höhe.

Comments

Natürlich hätte man auch die inverse lineare Funktion direkt aufstellen können.

---

Vielen Dank für Ihre Berechnung. Stimmt exakt. Super.
MfG swag

---

Exakt wären es 90860/13 = 6989 3/13 aber es langt bei Sachaufgaben in der Regel immer eine genäherte Lösung. Vor allem weil das Model an sich auch schon Fehler enthält.

Answer 4

Hallo,

noch mal ganz ausführlich ;-)

Vom Temperaturverlauf über der Höhe ist bekannt, dass in 200m Höhe 8,7°C herrschen und die Temperatur mit der Höhe um 0,65°C auf 100m abnimmt. Dies modelliert einen linearen Verlauf der Temperatur über der Höhe.

Wenn es also eine lineare Funktion \(T(h)\) für die Temperatur \(T\) in Abhängigkeit mit der Höhe \(h\) gibt, so können wir hier die Punkt-Steigungsform für eine lineare Funktion nutzen. Es gilt:$$\begin{aligned} T(h) &=m \cdot (h-h_0) + T_0\\&= -0,65\frac{\text{°C}}{100\,\text{m}} (h - 220 \,\text{m}) + 8,7\,\text{°C}\end{aligned}$$(siehe den roten Graphen in meinem Kommentar unter oswalds Antwort)

Bem.: der Temperaturgradient ist negativ, da die Temperatur sinkt, wenn die Höhe zunimmt.

Gefragt ist nach der Höhe \(h_m\) bei der eine Temperatur von \(T_m=-35,3°\) an der Messstation herrscht. Einsetzen der Temperatur gibt die Höhe \(h_m\) der Messstation$$\begin{aligned}-35,3\,\text{°C} &= -0,65\frac{\text{°C}}{100\,\text{m}} (h_m - 220 \,\text{m}) + 8,7\,\text{°C}&&|\, -8,7\,\text{°C} \\ -44\text{°C} &= -0,65\frac{\text{°C}}{100\,\text{m}} (h_m - 220 \,\text{m}) &&|\,\div \left( -0,65\frac{\text{°C}}{100\,\text{m}}\right) \\ \frac{44 \cdot 100}{0,65}\text{m} &=h_m - 220 \,\text{m} &&|\,+220\,\text{m} \\h_m &= \left(\frac{44 \cdot 100}{0,65} + 220\right)\,\text{m} \approx 7000\,\text{m} \end{aligned}$$Bem.: da Starttemperatur \(\left(8,7\,\text{°C}\right)\) und Temperaturgradient \(\left(-0,65\,\text{°C}/100\text{m}\right)\) nur auf 2 signifikannte Stellen gegeben sind, kann man auch das Ergebnis auf 2 signifikannte Stellen runden!

Gruß Werner