Question

Differenzierbarkeit: Prüfen Sie, ob die Funktion
\( f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 1, & \text { falls } x \leq 1, \\ -x^{2}+2 x, & \text { falls } 1<x \end{array}\right. \)
in \( x=1 \) differenzierbar ist.

Guten Morgen, ich bekomme diese Übungsaufgabe nicht gelöst. Ich muss hier den links und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen.

Answer 1

Aloha :)

Dir fehlt anscheinend ein wenig Übung beim Umformen von Termen, das lese ich zumindest aus den bisherigen Kommentaren raus. Das Thema solltest du dir nochmal genauer ansehen, weil es oft benötigt wird.

Wir bestimmen den links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0=1\).

$$\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{1-1}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}(0)=0$$$$\lim\limits_{x\searrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{(-x^2+2x)-1}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{-(x^2-2x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{-(x-1)^2}{x-1}$$$$\qquad=\lim\limits_{x\searrow1}-(x-1)=0$$

Die beiden Grenzwerte sind gleich, daher ist \(f(x)\) bei \(x=1\) mit \(f'(1)=0\) differenzierbar.

Comments

Vielen Dank, ja mir fehlt was Übung

Answer 2

Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten bei 1 ist 0 wegen Summen-, Faktor- und Produktregel.

Der linksseitige ist 1.

Comments

Wie sieht der Differentialquotient bei der 2. Funktion aus?

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Das weiß ich, aber wie sieht der Rechenweg aus? Das Thema hatten wir doch gestern schon! Ihre Antworten bringen mir nichts

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Das liegt wahrscheinlich nicht an der Antwort. Du hast keine zweite Funktion genannt, und erkundigst Dich nach dem Rechenweg bei der zweiten Funktion.

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Das weiß ich

Dann sind Probleme natürlich vorprogrammiert

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Die o.g. Formel muss ich ja auf die Funktion -x^2+2x anwenden, so das sich x-1 meistens rauskürzt.

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Der linksseitige ist 1? Oder eher 0?

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Die o.g. Formel muss ich ja ...

Der Wink mit dem Zaunpfählchen hat nichts genutzt, darum der Pfahl: Stimmt die Formel?

... auf die Funktion -x²+2x anwenden

Das ist keine Funktion.

so das sich x-1 meistens rauskürzt.

Entweder, oder, aber nicht "meistens".

Und Du hast immer noch nicht geschrieben, was Du mit "zweiter Funktion" meinst.

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Die o.g. Formel muss ich ja auf die Funktion -x^2+2x anwenden

Und warum machst du es nicht?

Der Term heißt, da x_0=1 betrachtet werden soll,
\(\displaystyle\frac{f(x-1)-f(1)}{x-1}\)

Und da von f die Funktionsvorschrift \(-x^2+2x\) lautet, musst du im Zähler

statt f(x-1) jetzt \(-(x-1)^2+2(x-1)\)

und statt f(1) jetzt  \(-(1)^2+2\cdot 1\) verwenden.

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Der zu untersuchende Quotient ist - anders als hier angegeben:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$