Differenzierbarkeit prüfen und Ableitung bestimmen

Question

Aufgabe: Auf Differenzierbarkeit prüfen und dann eventuell Ableitung bestimmen, falls möglich.

 \( f: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x}-\left(x^{2}-2 x+9\right) \)

Problem/Ansatz: Differentialquotient mit (f(x) - (fx₀)) / (x - x₀)

Ich komme allerdings nach einigen Umformungen auf 2x₀ als Ergebnis. Das ist aber falsch, da die Ableitung ja normalerweise folgendes sein müsste: -2 x+ \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) + 2

Soweit bin ich gekommen:

\( \frac{f(r)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \) Fall für \( x_{0}>0 \in \mathbb{R} . \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1 / 0} \sqrt{x-\left(x^{2}-2 x+9\right)-\left(\sqrt{x_{0}}-\left(x_{0}^{2}-2 x_{0}+9\right)\right)}{x-x_{0}} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{x-x^{2}+2 x-\sqrt{x_{0}}+x_{0}^{2}-2 x_{0}}{x-x_{0}} \)
(umschreiben von \( \left.-x^{2}+x_{0}^{2}\right) \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\left(x-x_{0}\right)\left(x+x_{0}\right)+\sqrt{x}+2 x+\sqrt{x_{0}}-2 x_{0}}{\left(x-x_{0}\right)} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}\left(x+x_{0}\right)+\frac{\sqrt{x}+2 x+\sqrt{x_{0}}-2 x_{0}}{\left(x-x_{0}\right)} \)

Comments

Es liegen wohl einige Vorzeichenfehler vor. Tipp: \(\dfrac{2x-2x_0}{x-x_0}=2\)  und \(\dfrac{\sqrt x-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\dfrac1{\sqrt x+\sqrt{x_0}}\).

Answer 1

Hallo

sein Fehler aus -\( \sqrt{x0} \) wird in der 4ten Zeile \( \sqrt{x0} \)

damit  verbessert und dem Hinweis von Arsinoe kommst du auf das gesuchte Ergebnis, wieso du den zweiten Teil mit dem Fehler = 0 setzt versteh ich aber auch nicht.

Gruß lul